Sucessões e progressões

Resposta: (D)

As opções (A) e (B) não são progressões geométricas (são, respetivamente, de 2.º grau e aritmética).

Em (C) e (D) a razão é, respetivamente, \(\frac{3}{2}\) e \(\frac{2}{3}\).

A soma de todos os termos de uma progressão geométrica só tem valor finito se \(\left| r \right|<1\); como \(\left| \frac{2}{3} \right|<1\), a resposta é (D).

Resposta: (C)

\({u}_{2}=2{u}_{1}+2=2\times 3+2=8\).

\({u}_{3}=2{u}_{2}+2=2\times 8+2=18\).

Resposta: (C)

\({\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{2n}={\left[ {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]}^{2}\).

Como \({\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}\to e\) (limite notável), tem-se \({\left[ {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]}^{2}\to {e}^{2}\).

Para \(n<10\) (isto é, \(n=1,\ldots ,9\)), \({v}_{n}\) toma os valores \(1,2,\ldots ,9\).

Para \(n\ge 10\), \({v}_{n}=1+\frac{1}{n}\), que é decrescente e tende para \(1\) quando \(n\to +\infty \), tomando valores no intervalo \(]1,1,1]\).

Como apenas os primeiros nove termos escapam a esse intervalo, e \(1\le {v}_{n}\le 9\) para todo o \(n\), a sucessão é limitada (opção C).

Não é monótona (cresce de \(1\) a \(9\) e depois decresce para valores próximos de \(1\)), não tem limite nulo (o limite é \(1\)) e não é divergente (converge para \(1\)).

Resposta: (C)

\({v}_{1}=2\), \({v}_{2}=\frac{1}{{v}_{1}}=\frac{1}{2}\), \({v}_{3}=\frac{1}{{v}_{2}}=2\), \({v}_{4}=\frac{1}{2}\), : a sucessão alterna entre \(2\) e \(\frac{1}{2}\).

Não é progressão aritmética (as diferenças alternam entre \(-1,5\) e \(1,5\), não são constantes) nem progressão geométrica (os quocientes alternam entre \(\frac{1}{4}\) e \(4\), não são constantes).

Não é monótona, pois os termos alternam entre dois valores distintos.

É limitada, pois todos os termos pertencem a \(\left\{ \frac{1}{2},2 \right\}\subset \left[ \frac{1}{2},2 \right]\).

Resposta: (D)

Seja \(r\) a razão da progressão. \({u}_{1}+{u}_{5}=26\Leftrightarrow {u}_{1}+\left( {u}_{1}+4r \right)=26\Leftrightarrow 2{u}_{1}+4r=26\).

\({u}_{9}=31\Leftrightarrow {u}_{1}+8r=31\).

Do sistema \(\left\{ \begin{matrix}2{u}_{1}+4r=26 \\ {u}_{1}+8r=31\end{matrix} \right.\), da segunda equação \({u}_{1}=31-8r\); substituindo na primeira: \(2\left( 31-8r \right)+4r=26\Leftrightarrow 62-16r+4r=26\Leftrightarrow -12r=-36\Leftrightarrow r=3\).

Então \({u}_{1}=31-8\times 3=7\).

O termo geral é \({u}_{n}={u}_{1}+\left( n-1 \right)r=7+3\left( n-1 \right)=3n+4\).

\(835\) é termo da progressão se existir \(n\in N\) tal que \(3n+4=835\Leftrightarrow 3n=831\Leftrightarrow n=277\).

Como \(277\in N\), conclui-se que \(835\) é termo da progressão (o \(277{.}^{o}\) termo).

Seja \(x\) o comprimento, em cm, de \(\left[ AB \right]\). Os comprimentos dos \(100\) segmentos formam uma progressão aritmética de primeiro termo \(x\) e razão \(2\): \(x,\,x+2,\,x+4,\,\ldots ,\,x+198\).

A soma dos \(100\) termos é \(100x+2\left( 0+1+⋯+99 \right)=100x+2\times \frac{99\times 100}{2}=100x+9900\).

Como \(104\) metros \(=10\,400\) cm: \(100x+9900=10\,400\Leftrightarrow 100x=500\Leftrightarrow x=5\).

O comprimento de \(\left[ AB \right]\) é \(5\) cm.

Resposta: (D)

Em (A), \({\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{n}\to {e}^{-2}\ne 0\) (limite notável do tipo \({\left( 1+\frac{a}{n} \right)}^{n}\to {e}^{a}\)).

Em (B), \(-\frac{{n}^{2}+1}{n}=-n-\frac{1}{n}\to -\infty \).

Em (C), \(\frac{4n+3}{3n+4}\to \frac{4}{3}\).

Em (D), \(\left| \frac{{\left( -1 \right)}^{n}}{n} \right|=\frac{1}{n}\to 0\), logo \(\frac{{\left( -1 \right)}^{n}}{n}\to 0\), que é a única opção com limite \(0\).

O 1.º triângulo tem lado \(1\), logo perímetro \(3\).

Unir os pontos médios de um triângulo equilátero de lado \(ℓ\) dá um triângulo equilátero de lado \(\frac{ℓ}{2}\) (teorema dos pontos médios); logo os lados dos sucessivos triângulos formam uma progressão geométrica de razão \(\frac{1}{2}\), e os perímetros também: o \(k\)-ésimo triângulo tem perímetro \(3\times {\left( \frac{1}{2} \right)}^{k-1}\).

A soma dos perímetros dos \(n\) primeiros triângulos é a soma dos \(n\) primeiros termos dessa progressão geométrica:

\[{S}_{n}=3\times \frac{1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}{1-\frac{1}{2}}=6\left( 1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n} \right).\]

Como \(n>4>0\), tem-se \({\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}>0\), pelo que \(1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}<1\) e, portanto,

\[{S}_{n}=6\left( 1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n} \right)<6,\]

qualquer que seja o valor de \(n\), como se pretendia mostrar.

Resposta: (D)

Em (A), \({\left( n-5 \right)}^{2}\) decresce para \(n<5\) e cresce para \(n>5\): não é monótona.

Em (B) e (C), o fator \({\left( -1 \right)}^{n}\) (ou o sinal alternado de \({\left( -2 \right)}^{n}\)) faz com que os termos consecutivos alternem de sinal: não são monótonas.

Em (D), \(\frac{1}{n}\) é estritamente decrescente, pois \(\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}\) para todo o \(n\in N\): é monótona.

Os raios das semicircunferências formam uma progressão geométrica de primeiro termo \(1\) e razão \(2\): \({r}_{n}={2}^{n-1}\) cm.

O comprimento de uma semicircunferência de raio \(r\) é \(\pi r\); logo os comprimentos formam também uma progressão geométrica, de primeiro termo \(\pi \) e razão \(2\).

O comprimento total é a soma dos \(25\) primeiros termos dessa progressão:

\[{S}_{25}=\pi \times \frac{{2}^{25}-1}{2-1}=\pi \left( {2}^{25}-1 \right)\text{cm}.\]

Calculando: \({S}_{25}=\pi \times 33\,554\,431\approx 105\,414\,354\) cm \(\approx 1054,14\) km.

Arredondando às unidades, o comprimento total é aproximadamente \(1054\) km.

Resposta: (B)

Em (A), os termos alternam entre valores positivos e negativos cada vez maiores em módulo: diverge.

Em (B), \(\left| \frac{{\left( -1 \right)}^{n}}{n} \right|=\frac{1}{n}\to 0\), logo a sucessão converge para \(0\).

Em (C), o termo \(n\) domina e a sucessão tende para \(+\infty \): diverge.

Em (D), o termo \(-n\) domina e a sucessão tende para \(-\infty \): diverge.

Sendo \({u}_{1}\) o primeiro termo, a soma dos \(5\) primeiros termos é

\[{S}_{5}={u}_{1}\times \frac{1-{\left( \frac{2}{3} \right)}^{5}}{1-\frac{2}{3}}={u}_{1}\times \frac{1-\frac{32}{243}}{\frac{1}{3}}={u}_{1}\times 3\times \frac{211}{243}={u}_{1}\times \frac{211}{81}.\]

Como \({S}_{5}=211\): \({u}_{1}\times \frac{211}{81}=211\Leftrightarrow {u}_{1}=81\).

O quinto termo é \({u}_{5}={u}_{1}\times {\left( \frac{2}{3} \right)}^{4}=81\times \frac{16}{81}=16\).

Para \(n\le 3\) (\(n=1,2,3\)), \({u}_{n}={\left( -1 \right)}^{n}\in \{-1,1\}\), pelo que \(-1\le {u}_{n}\le 1\).

Para \(n>3\), \({u}_{n}=\frac{4n-1}{n+3}=\frac{4\left( n+3 \right)-13}{n+3}=4-\frac{13}{n+3}\).

Como \(n>3\), tem-se \(n+3>6\), pelo que \(0<\frac{13}{n+3}<\frac{13}{7}\), e portanto \(4-\frac{13}{7}<{u}_{n}<4\), ou seja, \(\frac{15}{7}<{u}_{n}<4\).

Em qualquer dos casos, \(-1\le {u}_{n}<4\) para todo o \(n\in N\), pelo que a sucessão \(\left( {u}_{n} \right)\) é limitada (por exemplo, \(\left| {u}_{n} \right|\le 4\) para todo o \(n\)).

Resposta: (C)

\({u}_{n}={\left( \frac{n+k}{n} \right)}^{n}={\left( 1+\frac{k}{n} \right)}^{n}\).

Pelo limite notável \(\lim _{n\to +\infty }{\left( 1+\frac{k}{n} \right)}^{n}={e}^{k}\), para \(k\) constante.

Resposta: (A)

Sendo \(r\) a razão da progressão, \({v}_{8}={v}_{5}\times {r}^{3}\): \(108=4{r}^{3}\Leftrightarrow {r}^{3}=27\Leftrightarrow r=3\).

\({v}_{6}={v}_{5}\times r=4\times 3=12\).

Como \(\frac{5}{n+3}\to {0}^{+}\), tem-se \({v}_{n}=2-\frac{5}{n+3}\to {2}^{-}\), isto é, \(\left( {v}_{n} \right)\) é uma sucessão de termos inferiores a \(2\) que converge para \(2\).

Pela leitura do gráfico, \(\lim _{x\to {2}^{-}}g\left( x \right)=1\).

Pela caracterização de limite por sucessões, \(\lim g\left( {v}_{n} \right)=\lim _{x\to {2}^{-}}g\left( x \right)=1\).

Resposta: (B)

Sendo \({u}_{1}\) o primeiro termo e \(r\) a razão, \({u}_{6}+{u}_{20}=\left( {u}_{1}+5r \right)+\left( {u}_{1}+19r \right)=2{u}_{1}+24r=-5\).

\({u}_{19}=4{u}_{7}\Leftrightarrow {u}_{1}+18r=4\left( {u}_{1}+6r \right)\Leftrightarrow {u}_{1}+18r=4{u}_{1}+24r\Leftrightarrow -3{u}_{1}=6r\Leftrightarrow {u}_{1}=-2r\).

Substituindo em \(2{u}_{1}+24r=-5\): \(2\left( -2r \right)+24r=-5\Leftrightarrow 20r=-5\Leftrightarrow r=-\frac{1}{4}\), e \({u}_{1}=-2\left( -\frac{1}{4} \right)=\frac{1}{2}\).

\({S}_{16}=\frac{16}{2}\left( 2{u}_{1}+15r \right)=8\left( 2\times \frac{1}{2}+15\times \left( -\frac{1}{4} \right) \right)=8\left( 1-\frac{15}{4} \right)=8\times \left( -\frac{11}{4} \right)=-22\).

Como \({u}_{n}=2{n}^{2}-n\to +\infty \), tem-se \(\frac{1}{{u}_{n}}\to {0}^{+}\).

Pretende-se que \(\lim _{x\to {0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \), ou seja, que o gráfico de \(f\) tenha uma assíntota vertical de equação \(x=0\), com \(f\left( x \right)\to +\infty \) quando \(x\to {0}^{+}\).

De entre as opções, apenas o gráfico de tipo \(\frac{1}{x}\) — decrescente, com assíntota vertical \(x=0\) (tendendo para \(+\infty \) à direita de \(0\)) e assíntota horizontal \(y=0\) — verifica esta condição.

Resposta: (B)

Os termos de ordem ímpar correspondem a \(n=2k-1\), \(k=1,2,\ldots ,200\): \({u}_{2k-1}=2\left( 2k-1 \right)+1=4k-1\).

A soma pedida é \(\sum _{k=1}^{200} \left( 4k-1 \right)=4\sum _{k=1}^{200} k-200=4\times \frac{200\times 201}{2}-200=4\times 20\,100-200=80\,400-200=80\,200\).

a) ★★

\({u}_{n}=\frac{8n-4}{n+1}=\frac{8\left( n+1 \right)-12}{n+1}=8-\frac{12}{n+1}\).

Como \(n+1\) é crescente e positivo, \(\frac{12}{n+1}\) é decrescente, pelo que \(-\frac{12}{n+1}\) é crescente.

Logo \({u}_{n}=8-\frac{12}{n+1}\) é uma sucessão crescente (monótona crescente).

b) ★★

De \(1.1.\), \({u}_{n}=8-\frac{12}{n+1}\to {8}^{-}\) (pois \(\frac{12}{n+1}\to {0}^{+}\)).

\(8-{u}_{n}=\frac{12}{n+1}\to {0}^{+}\), pelo que \(f\left( {u}_{n} \right)={\log }_{2}\left( 8-{u}_{n} \right)={\log }_{2}\left( \frac{12}{n+1} \right)\to {\log }_{2}\left( {0}^{+} \right)=-\infty \).

Resposta: (A)

Seja \(d\) a razão: \({u}_{7}=2{u}_{2}\Leftrightarrow {u}_{1}+6d=2\left( {u}_{1}+d \right)\Leftrightarrow {u}_{1}+6d=2{u}_{1}+2d\Leftrightarrow {u}_{1}=4d\).

\({S}_{12}=\frac{12}{2}\left( 2{u}_{1}+11d \right)=57\Leftrightarrow 6\left( 2{u}_{1}+11d \right)=57\Leftrightarrow 2{u}_{1}+11d=9,5\).

Substituindo \({u}_{1}=4d\): \(8d+11d=9,5\Leftrightarrow 19d=9,5\Leftrightarrow d=0,5\), pelo que \({u}_{1}=4\times 0,5=2\).

\({u}_{n}={u}_{1}+\left( n-1 \right)d=2+\left( n-1 \right)\times 0,5\).

\({u}_{n}=500\Leftrightarrow 2+\left( n-1 \right)\times 0,5=500\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\times 0,5=498\Leftrightarrow n-1=996\Leftrightarrow n=997\).

O termo \(500\) é o termo de ordem \(997\).

a) ★★

\({u}_{n}=-4\Leftrightarrow \frac{2-5n}{n+7}=-4\Leftrightarrow 2-5n=-4\left( n+7 \right)\Leftrightarrow 2-5n=-4n-28\).

\(2-5n=-4n-28\Leftrightarrow -5n+4n=-28-2\Leftrightarrow -n=-30\Leftrightarrow n=30\).

Como \(n=30\in N\), conclui-se que \(-4\) é termo da sucessão \(\left( {u}_{n} \right)\), de ordem \(30\).

b) ★★

Resposta: (A)

\({u}_{1}=\frac{2-5}{1+7}=-\frac{3}{8}\) e \({u}_{2}=\frac{2-10}{2+7}=-\frac{8}{9}\).

\({v}_{2}=8{u}_{1}-{v}_{1}=8\times \left( -\frac{3}{8} \right)-a=-3-a\).

\({v}_{3}=8{u}_{2}-{v}_{2}=8\times \left( -\frac{8}{9} \right)-\left( -3-a \right)=-\frac{64}{9}+3+a=-\frac{64}{9}+\frac{27}{9}+a=-\frac{37}{9}+a\).

Como \({v}_{3}=-\frac{55}{9}\): \(-\frac{37}{9}+a=-\frac{55}{9}\Leftrightarrow a=-\frac{55}{9}+\frac{37}{9}=-\frac{18}{9}=-2\).

a) ★★

Resposta: (C)

Numa progressão aritmética de razão \(r\): \({u}_{12}={u}_{8}+4r\) e \({u}_{16}={u}_{20}-4r\), pelo que \({u}_{12}+{u}_{16}={u}_{8}+{u}_{20}=11\).

Analogamente, \({u}_{13}={u}_{14}-r\) e \({u}_{15}={u}_{14}+r\), pelo que \({u}_{13}+{u}_{15}=2{u}_{14}\); e como \({u}_{14}\) é equidistante de \({u}_{8}\) e \({u}_{20}\) (índice médio \(\frac{8+20}{2}=14\)), \(2{u}_{14}={u}_{8}+{u}_{20}=11\).

Logo, \({u}_{12}+{u}_{13}+{u}_{14}+{u}_{15}+{u}_{16}=\left( {u}_{12}+{u}_{16} \right)+\left( {u}_{13}+{u}_{15} \right)+{u}_{14}=11+11+\frac{11}{2}=\frac{55}{2}\).

(Alternativa mais direta: a soma de 5 termos consecutivos e equidistantes de \({u}_{14}\) é \(5{u}_{14}\), e como \({u}_{14}=\frac{{u}_{8}+{u}_{20}}{2}=\frac{11}{2}\), a soma é \(5\times \frac{11}{2}=\frac{55}{2}\).)

b) ★★

Seja \(r\) a razão da progressão aritmética. Então \({u}_{8}={u}_{12}-4r=5-4r\) e \({u}_{20}={u}_{12}+8r=5+8r\).

Como \({u}_{8}+{u}_{20}=11\): \(\left( 5-4r \right)+\left( 5+8r \right)=11\Leftrightarrow 4r=1\Leftrightarrow r=\frac{1}{4}\).

\({u}_{n}={u}_{12}+\left( n-12 \right)r=5+\left( n-12 \right)\times \frac{1}{4}=5+\frac{n}{4}-3=\frac{n}{4}+2\).

Resposta: (B)

Seja \(r\) a razão da progressão geométrica. Para todo o \(n\), \({w}_{n+3}={w}_{n}\,{r}^{3}\), pelo que a condição dada fica \({w}_{n}\,{r}^{3}+{w}_{n}=0\Leftrightarrow {w}_{n}\left( {r}^{3}+1 \right)=0\).

Como \({w}_{n}\ne 0\) para todo o \(n\), conclui-se que \({r}^{3}+1=0\Leftrightarrow {r}^{3}=-1\Leftrightarrow r=-1\) (única solução real).

A soma dos \(2026\) primeiros termos é \({w}_{1}\times \frac{1-{r}^{2026}}{1-r}={w}_{1}\times \frac{1-{\left( -1 \right)}^{2026}}{1-\left( -1 \right)}={w}_{1}\times \frac{1-1}{2}={w}_{1}\times 0=0\) (pois \(2026\) é par, \({\left( -1 \right)}^{2026}=1\)).

Seja \(r\) a razão da progressão. Como \({u}_{5}={u}_{2}\,{r}^{3}\): \(\frac{1}{9}=3{r}^{3}\Leftrightarrow {r}^{3}=\frac{1}{27}\Leftrightarrow r=\frac{1}{3}\).

Como \(0<\left| \frac{1}{3} \right|<1\), a soma de todos os termos da progressão geométrica \(\left( {u}_{n} \right)\) é finita.

De \({u}_{2}={u}_{1}\,r\): \(3={u}_{1}\times \frac{1}{3}\Leftrightarrow {u}_{1}=9\).

A soma de todos os termos é \(\frac{{u}_{1}}{1-r}=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2/3}=\frac{27}{2}\).

Para \(n=1\), a soma dos \(1\) primeiro termo é o próprio termo: \({u}_{1}={1}^{2}+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\).

Para \(n=2\): \({u}_{1}+{u}_{2}={2}^{2}+\frac{3\times 2}{2}=4+3=7\), pelo que \({u}_{2}=7-{u}_{1}=7-\frac{5}{2}=\frac{9}{2}\).

A razão é \(r={u}_{2}-{u}_{1}=\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=\frac{4}{2}=2\).

\({u}_{n}={u}_{1}+\left( n-1 \right)r=\frac{5}{2}+\left( n-1 \right)\times 2=\frac{5}{2}+2n-2=2n+\frac{1}{2}\).

a) ★★

\({u}_{20}=2\times {\left( -1 \right)}^{21}-2\times 20=2\times \left( -1 \right)-40=-2-40=-42\).

b) ★★

O fator \(2\times {\left( -1 \right)}^{n+1}\) só toma dois valores: \(2\), se \(n\) é ímpar, e \(-2\), se \(n\) é par.

Assim, \({u}_{n}\le 2-2n\), para todo o \(n\in {N}^{+}\) (pois \(2\times {\left( -1 \right)}^{n+1}\le 2\)).

Como \(n\ge 1\), \(2-2n\le 2-2=0\), pelo que \({u}_{n}\le 0\) para todo o \(n\in {N}^{+}\).

Logo, \(\left( {u}_{n} \right)\) não tem termos positivos.

\(\lim {y}_{n}=\lim \left[ 1+\ln {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]=1+\lim \left[ \ln {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]\).

Pela continuidade da função logarítmica, \(\lim \left[ \ln {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]=\ln \left[ \lim {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]\).

Como \(\lim {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}=e\) (limite notável que define o número de Neper), \(1+\ln \left[ \lim {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]=1+\ln e=1+1=2\).

Logo, \(\lim {y}_{n}=2\).

Resposta: (B)

A opção (A) não é o termo geral de uma progressão geométrica (não tem a forma \({u}_{1}{r}^{n-1}\)), pelo que se exclui.

A opção (D) tem razão \(r=\frac{3}{2}\), com \(\left| r \right|>1\): a série correspondente é divergente (não tem soma finita), pelo que se exclui.

Para a opção (B), \({u}_{n}={\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}\), o primeiro termo é \({u}_{1}=\frac{2}{3}\) e a razão é \(r=\frac{2}{3}\) (com \(\left| r \right|<1\), soma finita): \(S=\frac{{u}_{1}}{1-r}=\frac{2/3}{1-2/3}=\frac{2/3}{1/3}=2\). Esta opção verifica a condição.

Para a opção (C), \({u}_{n}=3\times {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1}\), \({u}_{1}=3\) e \(r=\frac{2}{3}\): \(S=\frac{3}{1-2/3}=\frac{3}{1/3}=9\ne 2\). Esta opção não verifica a condição.

A opção correta é, pois, a (B).

Os comprimentos dos segmentos formam uma progressão geométrica (cada termo obtém-se multiplicando o anterior por uma razão constante \(r\)); sejam \({a}_{n}\) os comprimentos, com \({a}_{2}=216\) e \({a}_{4}=96\).

Como \({a}_{4}={a}_{2}\times {r}^{2}\): \(96=216\times {r}^{2}\Leftrightarrow {r}^{2}=\frac{96}{216}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow r=\pm \frac{2}{3}\).

Como os comprimentos são sempre positivos e a sequência é decrescente (\(216\to 96\)), \(r=\frac{2}{3}\) (a razão negativa produziria comprimentos alternadamente negativos, o que não faz sentido).

\({a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{r}=\frac{216}{2/3}=324\) mm.

Como \(0<r<1\), a soma de todos os infinitos termos (comprimento total da linha poligonal) é finita: \(S=\frac{{a}_{1}}{1-r}=\frac{324}{1/3}=972\) mm.

Convertendo para centímetros: \(972\) mm \(=97,2\) cm.

(a) Se \(11\%\) do ordenado bruto correspondem a \(181,50\) €, o ordenado bruto é \(\frac{181,50}{0,11}=1650\) € — opção (2).

(b) Com capitalizações trimestrais e taxa de juro anual de \(1,25\%\), a taxa aplicada em cada capitalização (trimestre) é \(\frac{1,25\%}{4}=0,3125\%\) — opção (1).

(c) Com capital inicial \({C}_{0}=2000\) €, taxa periódica (trimestral) \(i=0,003125\) e \(4\times 4=16\) capitalizações (quatro anos, quatro capitalizações por ano), o capital acumulado é:

\[{C}_{16}=2000\times {\left( 1,003125 \right)}^{16}\approx 2102,38 €\]

— opção (3).

(d) Com capitalizações anuais e taxa de \(1,25\%\) ao ano, pretende-se o menor \(n\in N\) tal que \(2000\times {\left( 1,0125 \right)}^{n}>2200\), ou seja, \({\left( 1,0125 \right)}^{n}>1,1\). Tomando logaritmos: \(n>\frac{\ln \left( 1,1 \right)}{\ln \left( 1,0125 \right)}\approx 7,67\). Como \(n\) tem de ser um número inteiro de anos, o menor valor possível é \(n=8\) — opção (2).

Os diâmetros formam uma progressão aritmética, com \({d}_{1}=30\) (cm) e razão \(r=40\) (cm), com \(20\) termos.

\({d}_{20}={d}_{1}+19r=30+19\times 40=30+760=790\) (cm).

A soma dos \(20\) diâmetros é \(S=\frac{20\left( {d}_{1}+{d}_{20} \right)}{2}=10\times \left( 30+790 \right)=10\times 820=8200\) (cm).

O comprimento (perímetro) de cada circunferência é \(\pi \times \) diâmetro, pelo que o comprimento total é \(\pi \times 8200=8200\pi \) cm \(=82\pi \) m \(\approx 257,61\) m.

Arredondado às unidades, o comprimento total é, aproximadamente, \(258\) metros.

Resposta: (D)

Seja \({a}_{n}\) a distância percorrida no dia \(n\). \({a}_{1}=500\) e \({a}_{n+1}=500+0,8\,{a}_{n}\).

Se a sucessão \(\left( {a}_{n} \right)\) converge para um limite \(L\), este deve satisfazer a equação de ponto fixo: \(L=500+0,8L\).

\(L-0,8L=500\Leftrightarrow 0,2L=500\Leftrightarrow L=2500\).

A distância percorrida num dia aproxima-se, portanto, de \(2500\) metros, com o decorrer do tempo.

A semicircunferência inicial tem comprimento \(\pi \times 1=\pi \).

Os semicírculos retirados têm raios \(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\ldots \), pelo que os comprimentos das respetivas semicircunferências formam uma progressão geométrica de primeiro termo \(\frac{\pi }{2}\) e razão \(\frac{1}{2}\).

Soma dos \(20\) primeiros termos: \({S}_{20}=\frac{\pi }{2}\times \frac{1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^{20}}{1-\frac{1}{2}}=\pi \left( 1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^{20} \right)\).

Na \(n\)-ésima composição resta ainda um segmento de reta de comprimento \({\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}\); para \(n=20\), \({\left( \frac{1}{2} \right)}^{19}\).

Perímetro \(=\pi +{S}_{20}+{\left( \frac{1}{2} \right)}^{19}\approx 6,28\).

Em cada passagem de uma composição para a seguinte, cada quadrado é dividido em \(9\) quadrados iguais e retira-se \(1\): fica \(\frac{8}{9}\) da área anterior.

As áreas das composições formam, pois, uma progressão geométrica de primeiro termo \(9\) e razão \(\frac{8}{9}\).

A área da composição de ordem \(n\) é \({a}_{n}=9\times {\left( \frac{8}{9} \right)}^{n-1}\).

Para \(n=50\): \({a}_{50}=9\times {\left( \frac{8}{9} \right)}^{49}\approx 0,028\).

Numa progressão aritmética de razão \(r\): \({a}_{10}-{a}_{4}=6r\), logo \(6r=3\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}\).

Como \({a}_{10}={a}_{4}+3\), de \({a}_{4}\times {a}_{10}=40\) vem \({a}_{4}\left( {a}_{4}+3 \right)=40\Leftrightarrow {a}_{4}^{2}+3{a}_{4}-40=0\Leftrightarrow {a}_{4}=5 \lor  {a}_{4}=-8\); sendo os termos positivos, \({a}_{4}=5\).

\({a}_{1}={a}_{4}-3r=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\), pelo que \({a}_{n}=\frac{7}{2}+\left( n-1 \right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+3\).

\(\frac{1}{2}n+3=173\Leftrightarrow n=340\): \(173\) é o termo de ordem \(340\).

Os tempos de prática formam uma progressão aritmética \(\left( {u}_{n} \right)\) de razão \(10\).

\({u}_{4}={u}_{1}+3\times 10={u}_{1}+30\); de \({u}_{4}=60\) vem \({u}_{1}=30\).

\({u}_{m}=30+\left( m-1 \right)\times 10=10m+20\).

A soma dos \(m\) primeiros termos é \({S}_{m}=\frac{{u}_{1}+{u}_{m}}{2}\times m=\frac{30+10m+20}{2}\times m=\frac{10m+50}{2}\,m\).

\(\frac{10m+50}{2}m=2970\Leftrightarrow 10{m}^{2}+50m-5940=0\Leftrightarrow {m}^{2}+5m-594=0\), donde \(m=22\) (a outra solução é negativa).

Sendo \(\left( {v}_{n} \right)\) uma progressão aritmética de razão \(r\): \({v}_{3}={v}_{1}+2r=1\) e \({v}_{10}={v}_{1}+9r\), \({v}_{9}={v}_{1}+8r\).

\({v}_{1}+9r=\frac{5}{4}\left( {v}_{1}+8r \right)\Leftrightarrow 4{v}_{1}+36r=5{v}_{1}+40r\Leftrightarrow -{v}_{1}=4r\Leftrightarrow {v}_{1}=-4r\).

Substituindo em \({v}_{1}+2r=1\): \(-4r+2r=1\Leftrightarrow -2r=1\Leftrightarrow r=-\frac{1}{2}\), e \({v}_{1}=-4\times \left( -\frac{1}{2} \right)=2\).

\({v}_{n}=2+\left( n-1 \right)\times \left( -\frac{1}{2} \right)\). Fazendo \({v}_{n}=-50\): \(2-\frac{n-1}{2}=-50\Leftrightarrow \frac{n-1}{2}=52\Leftrightarrow n-1=104\Leftrightarrow n=105\).

Como \(n=105\in N\), \(-50\) é termo da progressão, sendo \({v}_{105}=-50\).

Para \(n\) ímpar, \(n+1\) é par, pelo que \({\left( -1 \right)}^{n+1}=1\) e \({u}_{n}=2+\frac{1}{n}\).

\(\frac{83}{41}=\frac{82+1}{41}=2+\frac{1}{41}\) e \(\frac{67}{33}=\frac{66+1}{33}=2+\frac{1}{33}\).

Pretende-se \(2+\frac{1}{41}\le 2+\frac{1}{n}\le 2+\frac{1}{33}\Leftrightarrow \frac{1}{41}\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{33}\Leftrightarrow 33\le n\le 41\).

Os valores ímpares de \(n\) em \(\left[ 33,41 \right]\) são \(33,35,37,39,41\): \(5\) termos.

Seja \(r\) a razão: \({u}_{18}=4{u}_{20}\Leftrightarrow {u}_{1}{r}^{17}=4{u}_{1}{r}^{19}\Leftrightarrow 1=4{r}^{2}\Leftrightarrow {r}^{2}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow r=\pm \frac{1}{2}\).

Como \(\left( {u}_{n} \right)\) não é monótona, a razão é negativa: \(r=-\frac{1}{2}\).

\({u}_{3}={u}_{1}{r}^{2}={u}_{1}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow {u}_{1}=\frac{1}{3}\).

\({u}_{n}={u}_{1}\times {r}^{n-1}=\frac{1}{3}\times {\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n-1}=\frac{1}{3}\times {\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-1}\times {\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}=\frac{1}{3}\times \left( -2 \right)\times {\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}=-\frac{2}{3}\times {\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}\).

a) ★★

Seja \(r\) a razão da progressão aritmética \(\left( {u}_{n} \right)\). Então \({u}_{8}={u}_{2}+6r\).

Substituindo em \({u}_{2}={u}_{8}+12\): \({u}_{2}={u}_{2}+6r+12\Leftrightarrow -6r=12\Leftrightarrow r=-2\), como se pretendia mostrar.

b) ★★★

\({v}_{n}=\frac{{3}^{{u}_{n}}}{{27}^{-n}}={3}^{{u}_{n}}\times {27}^{n}={3}^{{u}_{n}}\times {\left( {3}^{3} \right)}^{n}={3}^{{u}_{n}}\times {3}^{3n}={3}^{{u}_{n}+3n}\).

Para todo o \(n\in {N}^{+}\):

\[\frac{{v}_{n+1}}{{v}_{n}}=\frac{{3}^{{u}_{n+1}+3\left( n+1 \right)}}{{3}^{{u}_{n}+3n}}={3}^{{u}_{n+1}+3n+3-{u}_{n}-3n}={3}^{\left( {u}_{n+1}-{u}_{n} \right)+3}\]

Como \(\left( {u}_{n} \right)\) é uma progressão aritmética de razão \(-2\) (alínea 14.1), \({u}_{n+1}-{u}_{n}=-2\) para todo o \(n\), pelo que \(\frac{{v}_{n+1}}{{v}_{n}}={3}^{-2+3}={3}^{1}=3\), constante.

Logo, \(\left( {v}_{n} \right)\) é uma progressão geométrica de razão \(3\).

c) ★★★

A soma dos dez primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \(3\) é \({v}_{1}\times \frac{{3}^{10}-1}{3-1}={v}_{1}\times \frac{59049-1}{2}={v}_{1}\times \frac{59048}{2}={v}_{1}\times 29524\).

Como essa soma é \(118\,096\): \(29524\,{v}_{1}=118\,096\Leftrightarrow {v}_{1}=\frac{118\,096}{29524}=4\).

O termo geral é \({v}_{n}={v}_{1}\times {3}^{n-1}=4\times {3}^{n-1}=\frac{4}{3}\times 3\times {3}^{n-1}=\frac{4}{3}\times {3}^{n}\), ou seja, \({v}_{n}=\frac{4}{3}\times {3}^{n}\) (com \(a=\frac{4}{3}\) e \(b=3\)).

Como a razão \(3>1\) e o primeiro termo \({v}_{1}=4>0\), a sucessão \(\left( {v}_{n} \right)\) é crescente.

Seja \(r\) a razão da progressão. \({u}_{40}={u}_{1}+39r\) e \({u}_{8}={u}_{1}+7r\); a condição \({u}_{40}=3{u}_{8}\) dá: \({u}_{1}+39r=3\left( {u}_{1}+7r \right)=3{u}_{1}+21r\Leftrightarrow 18r=2{u}_{1}\Leftrightarrow {u}_{1}=9r\).

A soma dos termos de ordem \(6\) a \(50\) (inclusive, \(45\) termos) é \(S=\frac{{u}_{6}+{u}_{50}}{2}\times 45=405\Leftrightarrow {u}_{6}+{u}_{50}=\frac{405\times 2}{45}=18\).

\({u}_{6}={u}_{1}+5r=9r+5r=14r\) e \({u}_{50}={u}_{1}+49r=9r+49r=58r\); logo, \(14r+58r=18\Leftrightarrow 72r=18\Leftrightarrow r=\frac{1}{4}\).

\({u}_{1}=9r=\frac{9}{4}\).

O termo geral é \({u}_{n}={u}_{1}+\left( n-1 \right)r=\frac{9}{4}+\left( n-1 \right)\times \frac{1}{4}=\frac{9+\left( n-1 \right)}{4}=\frac{n+8}{4}\).

Pretende-se saber se existe \(n\in N\) tal que \({u}_{n}=153\): \(\frac{n+8}{4}=153\Leftrightarrow n+8=612\Leftrightarrow n=604\).

Como \(604\) é um número natural, \(153\) é, de facto, um termo de \(\left( {u}_{n} \right)\), sendo o seu termo de ordem \(604\).