Formulário e notas deste tema
Exercício 1
★Exame nacionalExame Nacional 2020, 2.ª fase — item 5
Dados dois números reais positivos, sabe-se que a soma dos seus logaritmos na base \(8\) é igual a \(\frac{1}{3}\).
A que é igual o produto desses dois números?
(A) \(2\)
(B) \(3\)
(C) \(8\)
(D) \(9\)
Ver resolução
Sejam \(x\) e \(y\) os dois números: \({\log }_{8}x+{\log }_{8}y=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {\log }_{8}\left( xy \right)=\frac{1}{3}\).
\(\Leftrightarrow xy={8}^{1/3}=2\).
Resposta: (A)
Exercício 2
★★Exame nacionalExame Nacional 2026, 2.ª fase — item 1
Para certos números reais \(a\) e \(b\) (\(a>1\) e \(b>0\)), tem-se \({\log }_{a}\left( {b}^{2} \right)=16\).
Qual é o valor de \({\log }_{a}\left( \frac{a}{b} \right)\)?
(A) \(-7\)
(B) \(-3\)
(C) \(5\)
(D) \(9\)
Ver resolução
Resposta: (A)
De \({\log }_{a}\left( {b}^{2} \right)=16\) vem \(2{\log }_{a}b=16\), ou seja, \({\log }_{a}b=8\).
\({\log }_{a}\left( \frac{a}{b} \right)={\log }_{a}a-{\log }_{a}b=1-8=-7\).
Exercício 3
★★Exame nacionalExame Nacional 2024, época especial — item 9
Resolva, em \(R\), sem recorrer à calculadora, a equação
\[\frac{1}{2}{\log }_{2}x-{\log }_{2}\sqrt{x+1}=-1\]
Ver resolução
Domínio: \(x>0\) (e \(x+1>0\) é sempre válido para \(x>0\)).
\(\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_{2}\sqrt{x}\) e \({\log }_{2}\sqrt{x+1}\) já está nessa forma, pelo que a equação é \({\log }_{2}\sqrt{x}-{\log }_{2}\sqrt{x+1}=-1\).
\({\log }_{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}=-1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}={2}^{-1}=\frac{1}{2}\).
\(\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 4x=x+1\Leftrightarrow 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\).
Como \(x=\frac{1}{3}>0\) pertence ao domínio, a solução é \(x=\frac{1}{3}\).
Exercício 4
★★Exame nacionalExame Nacional 2023, 1.ª fase — item 4.2
Considere a função \(g\), de domínio \(R\), definida por
\[g\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}\frac{4x-4}{{e}^{x-1}-1} & \;\text{se}\;x<1 \\ 7\times {3}^{x-1}-3 & \;\text{se}\;x\ge 1\end{matrix} \right.\]
Resolva os itens 4.1. e 4.2. sem recorrer à calculadora.
Resolva, no intervalo \([1,+\infty [\), a equação \({\log }_{3}\left( g\left( x \right) \right)=x+{\log }_{3}2\).
Ver resolução
Para \(x\ge 1\), \(g\left( x \right)=7\times {3}^{x-1}-3\). O segundo membro escreve-se \(x+{\log }_{3}2={\log }_{3}\left( {3}^{x} \right)+{\log }_{32}={\log }_{3}\left( 2\times {3}^{x} \right)\).
A equação fica \({\log }_{3}\left( 7\times {3}^{x-1}-3 \right)={\log }_{3}\left( 2\times {3}^{x} \right)\), ou seja, \(7\times {3}^{x-1}-3=2\times {3}^{x}\).
Como \({3}^{x-1}=\frac{{3}^{x}}{3}\): \(\frac{7}{3}\times {3}^{x}-3=2\times {3}^{x}\Leftrightarrow \left( \frac{7}{3}-2 \right){3}^{x}=3\Leftrightarrow \frac{1}{3}\times {3}^{x}=3\Leftrightarrow {3}^{x}=9\).
\(x=2\), que pertence a \([1,+\infty [\) e verifica a condição \(g\left( 2 \right)=7\times 3-3=18>0\) (necessária para o logaritmo).
A solução é \(x=2\).
Exercício 5
★★Exame nacionalExame Nacional 2023, 2.ª fase — item 6
Seja \(f\) uma função, de domínio \(R\), definida por \(f\left( x \right)=a+{e}^{bx}\), em que \(a\) e \(b\) são números reais.
Sabendo que o gráfico da função \(f\) contém os pontos de coordenadas \(\left( 1,5 \right)\) e \(\left( 2,7 \right)\), determine os valores de \(a\) e de \(b\).
Ver resolução
Das condições dadas: \(a+{e}^{b}=5\) e \(a+{e}^{2b}=7\).
Subtraindo a primeira equação à segunda: \({e}^{2b}-{e}^{b}=2\).
Fazendo \(u={e}^{b}\) (com \(u>0\)): \({u}^{2}-u-2=0\Leftrightarrow u=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\Leftrightarrow u=2 \lor u=-1\).
Como \(u={e}^{b}>0\), rejeita-se \(u=-1\), pelo que \({e}^{b}=2\Leftrightarrow b=\ln 2\).
Substituindo em \(a+{e}^{b}=5\): \(a+2=5\Leftrightarrow a=3\).
Conclui-se que \(a=3\) e \(b=\ln 2\).
Exercício 6
★★Exame nacionalExame Nacional 2023, época especial — item 8
Para certos valores de \(a\) e de \(b\) (\(a>1\) e \(b>1\)), tem-se \({\log }_{a}\left( \frac{b}{a} \right)=2\).
Qual é o valor de \({\log }_{a}\left( \sqrt{{a}^{3}}\times {b}^{2} \right)\)?
(A) \(\frac{13}{2}\)
(B) \(\frac{15}{2}\)
(C) \(\frac{19}{2}\)
(D) \(\frac{21}{2}\)
Ver resolução
Resposta: (B)
\({\log }_{a}\left( \frac{b}{a} \right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}a={\log }_{a}b-1=2\), pelo que \({\log }_{a}b=3\).
\[{\log }_{a}\left( \sqrt{{a}^{3}}\times {b}^{2} \right)={\log }_{a}\left( {a}^{3/2} \right)+{\log }_{a}\left( {b}^{2} \right)=\frac{3}{2}{\log }_{a}a+2{\log }_{a}b=\frac{3}{2}+2\times 3=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}.\]
Exercício 7
★★Exame nacionalExame Nacional 2022, época especial — item 14
Determine o conjunto dos números reais que são solução da equação \(\frac{1}{2}{\log }_{2}\left( 9x+1 \right)={\log }_{2}\left( 6x \right)\).
Ver resolução
Condições de existência: \(9x+1>0\land 6x>0\Leftrightarrow x>-\frac{1}{9}\land x>0\Leftrightarrow x>0\).
\(\frac{1}{2}{\log }_{2}\left( 9x+1 \right)={\log }_{2}\left( 6x \right)\Leftrightarrow {\log }_{2}\sqrt{9x+1}={\log }_{2}\left( 6x \right)\Leftrightarrow \sqrt{9x+1}=6x\).
Elevando ao quadrado (válido pois ambos os membros são positivos, em \(x>0\)): \(9x+1=36{x}^{2}\Leftrightarrow 36{x}^{2}-9x-1=0\).
\(x=\frac{9\pm \sqrt{81+144}}{72}=\frac{9\pm 15}{72}\), ou seja, \(x=\frac{1}{3}\) ou \(x=-\frac{1}{12}\).
Como \(x>0\), rejeita-se \(x=-\frac{1}{12}\). Verificação: \(\sqrt{9\times \frac{1}{3}+1}=\sqrt{4}=2=6\times \frac{1}{3}\).
O conjunto-solução é \(\left\{ \frac{1}{3} \right\}\).
Exercício 8
★★Exame nacionalExame Nacional 2021, 1.ª fase — item 14
Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação \(\ln \left( \left( 1-x \right){e}^{x-1} \right)=x\).
Ver resolução
Condição de existência: \(\left( 1-x \right){e}^{x-1}>0\); como \({e}^{x-1}>0\) para todo o \(x\), isto equivale a \(1-x>0\Leftrightarrow x<1\).
\(\ln \left( \left( 1-x \right){e}^{x-1} \right)=\ln \left( 1-x \right)+\ln \left( {e}^{x-1} \right)=\ln \left( 1-x \right)+x-1\).
A equação fica \(\ln \left( 1-x \right)+x-1=x\Leftrightarrow \ln \left( 1-x \right)-1=0\Leftrightarrow \ln \left( 1-x \right)=1\Leftrightarrow 1-x=e\Leftrightarrow x=1-e\).
Como \(1-e\approx -1,72<1\), a condição \(x<1\) é satisfeita.
O conjunto-solução é \(\{1-e\}\).
Exercício 9
★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — item 2
Seja \(f\) uma função, de domínio \(R\), definida por \(f\left( x \right)=\frac{{a}^{x}}{2}+b\), sendo \(a\) e \(b\) números reais e \(a>0\).
Sabendo que os pontos de coordenadas \(\left( 2,-3 \right)\) e \(\left( 4,3 \right)\) pertencem ao gráfico da função \(f\), determina os valores de \(a\) e de \(b\).
Ver resolução
Como \(\left( 2,-3 \right)\) pertence ao gráfico: \(f\left( 2 \right)=\frac{{a}^{2}}{2}+b=-3\).
Como \(\left( 4,3 \right)\) pertence ao gráfico: \(f\left( 4 \right)=\frac{{a}^{4}}{2}+b=3\).
Subtraindo a primeira equação à segunda: \(\frac{{a}^{4}-{a}^{2}}{2}=6\Leftrightarrow {a}^{4}-{a}^{2}=12\).
Fazendo \(u={a}^{2}\): \({u}^{2}-u-12=0\Leftrightarrow u=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{2}=\frac{1\pm 7}{2}\), ou seja, \(u=4\) ou \(u=-3\).
Como \(u={a}^{2}\ge 0\), rejeita-se \(u=-3\); logo \({a}^{2}=4\), e como \(a>0\), \(a=2\).
Substituindo em \(\frac{{a}^{2}}{2}+b=-3\): \(\frac{4}{2}+b=-3\Leftrightarrow 2+b=-3\Leftrightarrow b=-5\).
Assim, \(a=2\) e \(b=-5\).
Exercício 10
★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — item 3
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais superiores a \(1\), tais que \(a=\sqrt{b}\).
Qual dos valores seguintes é igual a \(\frac{1}{2}-{\log }_{a}b\)?
(A) \(0\)
(B) \(-\frac{3}{2}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) \(-\frac{1}{2}\)
Ver resolução
Resposta: (B)
Como \(a=\sqrt{b}\), tem-se \({a}^{2}=b\).
\({\log }_{a}b={\log }_{a}\left( {a}^{2} \right)=2\).
\(\frac{1}{2}-{\log }_{a}b=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\).
Exercício 11
★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — itens 4.1, 4.2
Seja \(f\) a função, de domínio \({R}^{+}\), definida por \(f\left( x \right)={\log }_{3}\left( \frac{{x}^{3}}{9} \right)-{\log }_{3}{x}^{2}\).
a) Mostra que \(f\left( x \right)=-2+{\log }_{3}x\).
b) Determina a abcissa do ponto de interseção do gráfico de \(f\) com a reta de equação \(y=-5\).
Ver resolução
a) ★★
\({\log }_{3}\left( \frac{{x}^{3}}{9} \right)={\log }_{3}\left( {x}^{3} \right)-{\log }_{39}=3{\log }_{3}x-2\) (pois \({\log }_{39}={\log }_{33}^{2}=2\)).
\(f\left( x \right)=\left( 3{\log }_{3}x-2 \right)-{\log }_{3}{x}^{2}=3{\log }_{3}x-2-2{\log }_{3}x={\log }_{3}x-2\), como se pretendia mostrar.
b) ★★
Pretende-se resolver \(f\left( x \right)=-5\), ou seja, \(-2+{\log }_{3}x=-5\).
\(-2+{\log }_{3}x=-5\Leftrightarrow {\log }_{3}x=-3\Leftrightarrow x={3}^{-3}=\frac{1}{27}\).
Exercício 12
★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — itens 8.1, 8.2
Seja \(f\) a função, de domínio \(R\\{0\}\), definida por \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x}\).
A função \(g\), de domínio \(\left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[\), é definida por \(g\left( x \right)={\log }_{3}\left( 1-2x \right)\).
a) Determina \(\left( f\circ g \right)\left( -4 \right)\).
b) Qual dos seguintes conjuntos é o domínio de \(g\circ f\)?
(A) \(\left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[\cup ]1,+\infty [\)
(B) \(]-\infty ,0\left[ \cup \right]0,1[\)
(C) \(]-\infty ,0\left[ \cup \right]1,+\infty [\)
(D) \(\left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[\)
Ver resolução
a) ★★
\(g\left( -4 \right)={\log }_{3}\left( 1-2\times \left( -4 \right) \right)={\log }_{3}\left( 1+8 \right)={\log }_{39}=2\).
\(\left( f\circ g \right)\left( -4 \right)=f\left( g\left( -4 \right) \right)=f\left( 2 \right)=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{4}\).
b) ★★
Resposta: (C)
O domínio de \(g\circ f\) é o conjunto dos \(x\in R\\{0\}\) (domínio de \(f\)) tais que \(f\left( x \right)\in \left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[\) (domínio de \(g\)), isto é, tais que \(f\left( x \right)<\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2x}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2x}-\frac{1}{2}<0\Leftrightarrow \frac{1-x}{2x}<0\).
Estudando o sinal de \(\frac{1-x}{2x}\) (zeros do numerador e denominador em \(x=1\) e \(x=0\)): para \(x<0\), numerador \(1-x>0\) e denominador \(2x<0\), logo a fração é negativa; para \(0<x<1\), ambos positivos, fração positiva; para \(x>1\), numerador negativo e denominador positivo, fração negativa.
A condição \(\frac{1-x}{2x}<0\) verifica-se para \(x<0\) ou \(x>1\) (excluindo \(x=0\), já fora do domínio de \(f\), e \(x=1\), onde a fração se anula).
O domínio de \(g\circ f\) é \(]-\infty ,0\left[ \cup \right]1,+\infty [\).
Exercício 13
★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — item 9
Na figura está representado o gráfico da função \(f\) definida por \(f\left( x \right)={\left( x-1 \right)}^{2}-2\).
Seja \(g\) a restrição de \(f\) ao intervalo \(]-\infty ,1]\).
Qual das opções é igual a \({g}^{-1}\left( x \right)\)?
(A) \(\sqrt{x+2}+1\)
(B) \(\frac{1}{{x}^{2}-2x-1}\)
(C) \(-3+\sqrt{x}\)
(D) \(1-\sqrt{x+2}\)
Ver resolução
Resposta: (D)
Em \(]-\infty ,1]\), a função \(f\) é decrescente (o vértice da parábola, \(\left( 1,-2 \right)\), é o seu mínimo, atingido em \(x=1\)), pelo que \(g\) é injetiva e invertível, com contradomínio \([-2,+\infty [\).
Resolvendo \(y={\left( x-1 \right)}^{2}-2\) em ordem a \(x\): \({\left( x-1 \right)}^{2}=y+2\Leftrightarrow x-1=\pm \sqrt{y+2}\).
Como o domínio de \(g\) é \(x\le 1\), tem-se \(x-1\le 0\), pelo que se toma a raiz negativa: \(x-1=-\sqrt{y+2}\Leftrightarrow x=1-\sqrt{y+2}\).
Logo, \({g}^{-1}\left( x \right)=1-\sqrt{x+2}\).
Exercício 14
★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — itens 11.1, 11.2
Seja \(f\) a função, de domínio \(R\\{1\}\), definida por \(f\left( x \right)=\frac{2x-2}{{e}^{x-1}-1}\).
a) O gráfico de \(f\) admite, exatamente, duas assíntotas, definidas pelas equações \(y=-2x+2\) e \(y=0\), quando \(x\) tende, respetivamente, para \(-\infty \) e \(+\infty \). Qual das seguintes igualdades é verdadeira?
(A) \({\lim }_{x\to -\infty }f\left( x \right)=0\)
(B) \({\lim }_{x\to -\infty }\left( f\left( x \right)-2x+2 \right)=0\)
(C) \({\lim }_{x\to -\infty }\left( f\left( x \right)+2x \right)=2\)
(D) \({\lim }_{x\to +\infty }\left( f\left( x \right)-x \right)=0\)
b) Calcula \({\lim }_{x\to 1}f\left( x \right)\).
Ver resolução
a) ★★
Resposta: (C)
A reta de equação \(y=-2x+2\) é assíntota do gráfico de \(f\) quando \(x\to -\infty \) significa, por definição, que \({\lim }_{x\to -\infty }\left[ f\left( x \right)-\left( -2x+2 \right) \right]=0\).
\(f\left( x \right)-\left( -2x+2 \right)=f\left( x \right)+2x-2\), pelo que \({\lim }_{x\to -\infty }\left( f\left( x \right)+2x-2 \right)=0\), ou seja, \({\lim }_{x\to -\infty }\left( f\left( x \right)+2x \right)=2\).
b) ★★
Quando \(x\to 1\), quer o numerador \(2x-2\) quer o denominador \({e}^{x-1}-1\) tendem para \(0\), uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\).
Fazendo a mudança de variável \(h=x-1\) (com \(h\to 0\) quando \(x\to 1\)): \(f\left( x \right)=\frac{2h}{{e}^{h}-1}=2\times \frac{h}{{e}^{h}-1}\).
Recorrendo ao limite notável \({\lim }_{h\to 0}\frac{{e}^{h}-1}{h}=1\) (equivalentemente, \({\lim }_{h\to 0}\frac{h}{{e}^{h}-1}=1\)): \({\lim }_{x\to 1}f\left( x \right)=2\times 1=2\).
Exercício 15
★★Exercício de editora“Prova-Modelo 1”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 8
Resolve, em \(R\), sem recorrer à calculadora, a equação:
\[{\log }_{2}\left( 3x+2 \right)=4-{\log }_{2}\left( 4-x \right)\]
Resolve a equação.
Ver resolução
Condição de existência: \(3x+2>0\land 4-x>0\Leftrightarrow x>-\frac{2}{3}\land x<4\), isto é, \(x\in \left] -\frac{2}{3},4 \right[\).
\({\log }_{2}\left( 3x+2 \right)=4-{\log }_{2}\left( 4-x \right)\Leftrightarrow {\log }_{2}\left( 3x+2 \right)+{\log }_{2}\left( 4-x \right)=4\Leftrightarrow {\log }_{2}\left[ \left( 3x+2 \right)\left( 4-x \right) \right]=4\).
\(\Leftrightarrow \left( 3x+2 \right)\left( 4-x \right)={2}^{4}=16\Leftrightarrow 12x-3{x}^{2}+8-2x=16\Leftrightarrow -3{x}^{2}+10x-8=0\Leftrightarrow 3{x}^{2}-10x+8=0\).
Resolvendo: \(x=\frac{10\pm \sqrt{100-96}}{6}=\frac{10\pm 2}{6}\), pelo que \(x=2\) ou \(x=\frac{4}{3}\).
Ambos os valores pertencem ao domínio \(\left] -\frac{2}{3},4 \right[\), pelo que o conjunto-solução é \(\left\{ \frac{4}{3},2 \right\}\).
Exercício 16
★★Exercício de editora“Prova-Modelo 2”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — itens 5.1, 5.2
Considera a função \(f\), de domínio \(]-\infty ,5[\), definida por \(f\left( x \right)=\ln \left( 5-x \right)\). Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
a) Estuda o gráfico da função \(f\) quanto à existência de assíntota não vertical e, caso exista, escreve a sua equação.
b) Resolve, em \(]-\infty ,5[\), a equação \({e}^{x}\times f\left( x \right)=\ln \left[ {\left( 5-x \right)}^{2} \right]\).
Ver resolução
a) ★★
Como o domínio de \(f\) é \(]-\infty ,5[\), a única assíntota não vertical possível é quando \(x\to -\infty \) (não há ramo quando \(x\to +\infty \)).
\({\lim }_{x\to -\infty }f\left( x \right)={\lim }_{x\to -\infty }\ln \left( 5-x \right)=+\infty \) (pois \(5-x\to +\infty \)).
Para uma assíntota (horizontal ou oblíqua), \(m={\lim }_{x\to -\infty }\frac{f\left( x \right)}{x}\) deve ser finito. Fazendo \(u=-x\to +\infty \): \(\frac{f\left( x \right)}{x}=\frac{\ln \left( 5+u \right)}{-u}\). Como \(\ln \left( 5+u \right)\) tem crescimento muito mais lento do que \(u\), \({\lim }_{u\to +\infty }\frac{\ln \left( 5+u \right)}{u}=0\), pelo que \(m=0\).
Com \(m=0\), a assíntota (caso existisse) seria horizontal, do tipo \(y=b\), com \(b={\lim }_{x\to -\infty }f\left( x \right)\). Mas, por 2., este limite é \(+\infty \) (não finito).
Como não existe \(b\) finito, o gráfico de \(f\) não tem assíntota não vertical.
b) ★★
A equação é \({e}^{x}\ln \left( 5-x \right)=\ln \left[ {\left( 5-x \right)}^{2} \right]\). Usando a propriedade \(\ln \left[ {\left( 5-x \right)}^{2} \right]=2\ln \left( 5-x \right)\) (válida, pois \(5-x>0\) no domínio): \({e}^{x}\ln \left( 5-x \right)=2\ln \left( 5-x \right)\).
\(\Leftrightarrow \ln \left( 5-x \right)\left[ {e}^{x}-2 \right]=0\Leftrightarrow \ln \left( 5-x \right)=0 \lor {e}^{x}=2\).
\(\ln \left( 5-x \right)=0\Leftrightarrow 5-x=1\Leftrightarrow x=4\) (válido, pois \(4<5\)).
\({e}^{x}=2\Leftrightarrow x=\ln 2\) (válido, pois \(\ln 2<5\)).
O conjunto-solução é \(\{\ln 2,4\}\).
Exercício 17
★★Exercício de editora“Prova-Modelo 3”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 2
Seja \(g\) a função, de domínio \(]1,+\infty [\), definida por \(g\left( x \right)=4x-2\ln \left( x-1 \right)\).
Estuda a função \(g\) quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e, caso existam, escreve as suas equações.
Ver resolução
Assíntota vertical: como \({\lim }_{x\to {1}^{+}}\left( x-1 \right)={0}^{+}\), \({\lim }_{x\to {1}^{+}}\ln \left( x-1 \right)=-\infty \), pelo que \({\lim }_{x\to {1}^{+}}g\left( x \right)={\lim }_{x\to {1}^{+}}\left[ 4x-2\ln \left( x-1 \right) \right]=4-2\times \left( -\infty \right)=+\infty \). A reta \(x=1\) é assíntota vertical do gráfico de \(g\).
Assíntota não vertical, quando \(x\to +\infty \): \(m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{g\left( x \right)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left[ 4-\frac{2\ln \left( x-1 \right)}{x} \right]=4-0=4\) (pois \(\frac{\ln \left( x-1 \right)}{x}\to 0\), dado que o logaritmo cresce mais lentamente do que \(x\)).
\(b={\lim }_{x\to +\infty }\left[ g\left( x \right)-4x \right]={\lim }_{x\to +\infty }\left[ -2\ln \left( x-1 \right) \right]=-\infty \) (não é finito, pois \(\ln \left( x-1 \right)\to +\infty \)).
Como \(b\) não é finito, não existe assíntota não vertical ao gráfico de \(g\) quando \(x\to +\infty \) (apesar de existir o valor de \(m\)). A única assíntota do gráfico de \(g\) é a reta vertical \(x=1\).
Exercício 18
★★Exercício de editora“Prova-Modelo 3”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 10
A intensidade de um sinal sonoro diminui à medida que um recetor se afasta da fonte. Admite que o nível sonoro \(L\), em decibéis, a uma distância \(d\), em metros, é modelado pela função \(L\left( d \right)=80-20\log d\), \(d\ge 1\).
Determina, recorrendo à calculadora gráfica, a distância \(d\) a que o recetor se deve encontrar para que o nível sonoro seja \(75\%\) do nível sonoro registado a dois metros de distância. Apresenta o resultado, em metros, com duas casas decimais. Não justifiques a validade do resultado obtido na calculadora. Na resposta, apresenta uma condição que te permita resolver o problema e as coordenadas relevantes arredondadas às centésimas.
Ver resolução
\(L\left( 2 \right)=80-20\log 2\approx 80-6,02\approx 73,98\) decibéis.
Pretende-se \(L\left( d \right)=0,75\times L\left( 2 \right)\approx 0,75\times 73,98\approx 55,48\).
Introduzindo na calculadora gráfica \({y}_{1}=80-20\log x\) e \({y}_{2}=0,75\times \left( 80-20\log 2 \right)\approx 55,48\), visualiza-se o ponto de intersecção, de coordenadas aproximadas \(\left( 16,82; 55,48 \right)\).
A distância pedida, arredondada às centésimas, é \(d\approx 16,82\) metros.
Exercício 19
★★★Exame nacionalExame Nacional 2026, 2.ª fase — item 15
Considere uma função \(f\), de domínio \({R}^{+}\), e a reta \(r\), de equação \(y=-x+2\), assíntota ao gráfico da função \(f\).
Seja \(g\) a função, de domínio \({R}^{+}\), definida por
\[g\left( x \right)=f\left( x \right)+\frac{x+{e}^{x}}{{e}^{x}}\]
Determine uma equação da assíntota não vertical ao gráfico da função \(g\).
Ver resolução
Como \(y=-x+2\) é assíntota ao gráfico de \(f\), tem-se \(\lim _{x\to +\infty }\frac{f\left( x \right)}{x}=-1\) e \(\lim _{x\to +\infty }\left( f\left( x \right)+x \right)=2\).
Declive: \(\lim _{x\to +\infty }\frac{g\left( x \right)}{x}=\lim _{x\to +\infty }\frac{f\left( x \right)}{x}+\lim _{x\to +\infty }\frac{x+{e}^{x}}{x\,{e}^{x}}=-1+0=-1\), porque \(\frac{x+{e}^{x}}{x\,{e}^{x}}=\frac{1}{{e}^{x}}+\frac{1}{x}\to 0\).
Ordenada na origem: \(\lim _{x\to +\infty }\left( g\left( x \right)+x \right)=\lim _{x\to +\infty }\left( f\left( x \right)+x \right)+\lim _{x\to +\infty }\frac{x+{e}^{x}}{{e}^{x}}=2+1=3\), uma vez que \(\frac{x+{e}^{x}}{{e}^{x}}=\frac{x}{{e}^{x}}+1\to 1\).
A assíntota não vertical tem equação \(y=-x+3\).
Exercício 20
★★★Exame nacionalExame Nacional 2026, época especial — item 4.2
Considere a função \(f\), de domínio \(R\), definida por
\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}\frac{{e}^{x+2}-1}{{x}^{2}-4} & \;\text{se}\;x<-2 \\ 2{e}^{x+2}+3{e}^{-x-2} & \;\text{se}\;x\ge -2\end{matrix} \right.\]
Resolva, no intervalo \([0,+\infty [\), a equação \(f\left( x-2 \right)=7\).
Ver resolução
Para \(x\ge 0\) tem-se \(x-2\ge -2\), pelo que \(f\left( x-2 \right)=2{e}^{x}+3{e}^{-x}\).
A equação é \(2{e}^{x}+3{e}^{-x}=7\); multiplicando por \({e}^{x}\): \(2{\left( {e}^{x} \right)}^{2}-7{e}^{x}+3=0\).
Fazendo \(y={e}^{x}\): \(2{y}^{2}-7y+3=0\Leftrightarrow y=3 \lor y=\frac{1}{2}\).
\({e}^{x}=3\Leftrightarrow x=\ln 3\) e \({e}^{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2\).
Como \(-\ln 2<0\), a única solução em \([0,+\infty [\) é \(x=\ln 3\).
Exercício 21
★★★Exame nacionalExame Nacional 2026, época especial — item 9
Uma sonda meteorológica, com um paraquedas, é largada de um balão e cai segundo uma trajetória vertical até chegar ao solo.
Admita que, no seu movimento de queda, \(t\) segundos após ser largada, a distância da sonda ao solo, em metros, é dada por
\[y\left( t \right)=3000-320\left( {e}^{-\frac{7}{40}t}-1 \right)-56t, t\ge 0\]
Determine, recorrendo à calculadora, quanto tempo demorou a sonda a percorrer \(\frac{2}{3}\) do comprimento da sua trajetória de queda.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta: apresente uma equação que lhe permita resolver o problema; represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.
Ver resolução
O comprimento da trajetória de queda é a distância inicial ao solo, \(y\left( 0 \right)=3000\) metros.
Ter percorrido \(\frac{2}{3}\) da trajetória significa estar a \(\frac{1}{3}\) do solo: \(y\left( t \right)=\frac{1}{3}\times 3000=1000\).
Com a calculadora, representam-se \(y=y\left( t \right)\) e \(y=1000\) e determina-se a abcissa do ponto de intersecção.
Obtém-se \(t\approx 41,4\) segundos.
Exercício 22
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, 1.ª fase — item 11
Numa certa região, foi localizado um enxame de gafanhotos.
Admita que o número, \(G\), em milhões, de gafanhotos do enxame, \(x\) semanas após as zero horas do dia em que este foi localizado, é dado, aproximadamente, por
\[G\left( x \right)=0,9{e}^{-0,6x}{\left( x+0,5 \right)}^{3}, \text{com}x\ge 0\]
De acordo com o modelo, existe um único instante a partir do qual, passadas quatro semanas, o número de gafanhotos ficou reduzido a metade do número de gafanhotos existentes nesse instante.
Determine, recorrendo à calculadora, quantos dias decorreram desde as zero horas do dia em que o enxame foi localizado até esse instante.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta: apresente uma equação que lhe permita resolver o problema; represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s); apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.
Ver resolução
O número de gafanhotos quatro semanas depois do instante \(x\) é \(G\left( x+4 \right)\); pretende-se que seja metade de \(G\left( x \right)\).
A equação a resolver é \(G\left( x+4 \right)=\frac{1}{2}G\left( x \right)\).
Com a calculadora, representam-se \(y=G\left( x+4 \right)\) e \(y=\frac{1}{2}G\left( x \right)\) e determina-se a abcissa do ponto de intersecção: \(x\approx 4,72\) semanas.
Em dias: \(4,72\times 7\approx 33\) dias.
Exercício 23
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, 1.ª fase — item 12.1
Considere a função \(f\), de domínio \(R\), definida por \(f\left( x \right)=3{e}^{x}-2{e}^{-x}\).
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a representação gráfica da função \(f\) e o trapézio \(\left[ OCAB \right]\), tais que:
o ponto \(A\) é o ponto de intersecção do gráfico da função \(f\) com a reta de equação \(y=5\);
o ponto \(B\) pertence ao gráfico da função \(f\) e ao eixo \(Oy\);
o ponto \(C\) pertence ao eixo \(Ox\) e tem abcissa igual à abcissa do ponto \(A\).
Determine a área do trapézio \(\left[ OCAB \right]\).
Apresente o resultado na forma \(\ln \left( a \right)\), com \(a>0\).
Ver resolução
\(\overline{OB}=f\left( 0 \right)=3-2=1\) e \(\overline{AC}=5\) (ordenada de \(A\)).
A abcissa de \(A\) obtém-se de \(3{e}^{x}-2{e}^{-x}=5\); multiplicando por \({e}^{x}\): \(3{\left( {e}^{x} \right)}^{2}-5{e}^{x}-2=0\).
Fazendo \(y={e}^{x}\): \(3{y}^{2}-5y-2=0\Leftrightarrow y=2 \lor y=-\frac{1}{3}\); como \({e}^{x}>0\), vem \({e}^{x}=2\), ou seja, \(x=\ln 2\). Logo \(\overline{OC}=\ln 2\).
Área do trapézio \(=\frac{\overline{OB}+\overline{AC}}{2}\times \overline{OC}=\frac{1+5}{2}\times \ln 2=3\ln 2=\ln \left( {2}^{3} \right)=\ln 8\).
Exercício 24
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, 2.ª fase — item 3.2
Considere a função \(f\), de domínio \(R\), definida por
\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}\frac{1-{e}^{-x}}{x} & \;\text{se}\;x<0 \\ 1 & \;\text{se}\;x=0 \\ \frac{{x}^{2}+\ln \left( ex+e \right)}{x+1} & \;\text{se}\;x>0\end{matrix} \right.\]
Mostre que a reta de equação \(y=x-1\) é assíntota ao gráfico da função \(f\) quando \(x\to +\infty \).
Ver resolução
Basta mostrar que \(\lim _{x\to +\infty }\left( f\left( x \right)-\left( x-1 \right) \right)=0\).
\(f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\frac{{x}^{2}+\ln \left( ex+e \right)}{x+1}-x+1=\frac{{x}^{2}+\ln \left( ex+e \right)-{x}^{2}-x+x+1}{x+1}=\frac{\ln \left( ex+e \right)+1}{x+1}\).
\(\frac{\ln \left( ex+e \right)+1}{x+1}=\frac{\ln \left( ex+e \right)}{x+1}+\frac{1}{x+1}\), e \(\lim _{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0\).
Fazendo \(y=ex+e\) (com \(y\to +\infty \)), vem \(\frac{\ln \left( ex+e \right)}{x+1}=e\,\frac{\ln y}{y}\) e, como \(\lim _{y\to +\infty }\frac{\ln y}{y}=0\), este limite é \(0\).
Logo \(\lim _{x\to +\infty }\left( f\left( x \right)-\left( x-1 \right) \right)=0\) e \(y=x-1\) é assíntota ao gráfico de \(f\) quando \(x\to +\infty \).
Exercício 25
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, 2.ª fase — item 4
Determine os números reais que são solução da equação
\[\frac{1}{2}{e}^{x}\ln {\left( 4-x \right)}^{2}-5\ln \left( 4-x \right)=\left( 5-{e}^{x} \right)\ln \left( 7-2x \right)\]
Ver resolução
Domínio: é preciso \(4-x>0\) e \(7-2x>0\), ou seja, \(x<\frac{7}{2}\): \(D=\left] -\infty ,\frac{7}{2} \right[\).
Como \(\ln {\left( 4-x \right)}^{2}=2\ln \left( 4-x \right)\) nesse domínio, a equação fica \({e}^{x}\ln \left( 4-x \right)-5\ln \left( 4-x \right)=\left( 5-{e}^{x} \right)\ln \left( 7-2x \right)\).
\(\left( {e}^{x}-5 \right)\ln \left( 4-x \right)+\left( {e}^{x}-5 \right)\ln \left( 7-2x \right)=0\Leftrightarrow \left( {e}^{x}-5 \right)\left[ \ln \left( 4-x \right)+\ln \left( 7-2x \right) \right]=0\).
\(\left( {e}^{x}-5 \right)\ln \left( \left( 4-x \right)\left( 7-2x \right) \right)=0\Leftrightarrow {e}^{x}=5 \lor \left( 4-x \right)\left( 7-2x \right)=1\).
\({e}^{x}=5\Leftrightarrow x=\ln 5\); e \(\left( 4-x \right)\left( 7-2x \right)=1\Leftrightarrow 2{x}^{2}-15x+27=0\Leftrightarrow x=3 \lor x=\frac{9}{2}\).
Como \(\frac{9}{2}\notin D\), as soluções são \(x=\ln 5\) e \(x=3\).
Exercício 26
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, 2.ª fase — item 12
Admita que, de acordo com um estudo de mercado realizado pela Biclatour, empresa de fabrico de bicicletas, o número de unidades das bicicletas Ciclatour que se prevê vender, em função do preço, \(p\), em centenas de euros, de cada unidade, é dado, aproximadamente, por
\[N\left( p \right)=4000\times {e}^{-0,34p}-1,12p+50, \text{com}2\le p\le 10\]
De acordo com este modelo, sabe-se que existe um único preço para o qual o valor total que se prevê obter com a venda das bicicletas Ciclatour é igual a \(4000\) centenas de euros.
Determine esse preço, recorrendo à calculadora.
Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta: apresente uma equação que lhe permita resolver o problema; represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s); apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.
Ver resolução
O valor total obtido com a venda é o produto do preço pelo número de unidades vendidas: \(p\times N\left( p \right)\).
A equação a resolver é \(p\times N\left( p \right)=4000\), com \(p\in \left[ 2,10 \right]\).
Com a calculadora, representam-se \(y=p\,N\left( p \right)\) e \(y=4000\) e determina-se a abcissa do ponto de intersecção: \(p\approx 4,73\) centenas de euros.
Em euros: \(4,73\times 100\approx 473\) euros.
Exercício 27
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, época especial — item 3.2
Seja \(f\) a função, de domínio \(\left] -\infty ,1 \right[\), definida por \(f\left( x \right)=2x+3+\ln \left( {\left( 1-x \right)}^{3} \right)\), e seja \(g\) a função, de domínio \(\left] -\infty ,1 \right[\), definida por
\[g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x-1}\]
Estude a função \(g\) quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva uma equação de cada assíntota.
Ver resolução
Assíntota vertical. A função \(g\) é contínua em \(\left] -\infty ,1 \right[\), pelo que a única candidata é \(x=1\).
\(\lim _{x\to {1}^{-}}\left( 2x+3+\ln \left( {\left( 1-x \right)}^{3} \right) \right)=-\infty \), porque \(\ln \left( {\left( 1-x \right)}^{3} \right)\to -\infty \).
\(\lim _{x\to {1}^{-}}\left( x-1 \right)={0}^{-}\).
Logo \(\lim _{x\to {1}^{-}}g\left( x \right)=\frac{-\infty }{{0}^{-}}=+\infty \) e \(x=1\) é assíntota vertical.
Assíntota horizontal. Estuda-se o limite quando \(x\to -\infty \).
\(g\left( x \right)=\frac{2x+3}{x-1}+\frac{\ln \left( {\left( 1-x \right)}^{3} \right)}{x-1}\), e \(\lim _{x\to -\infty }\frac{2x+3}{x-1}=2\).
Fazendo \(y=1-x\) (com \(y\to +\infty \)): \(\frac{\ln {y}^{3}}{-y}=-3\,\frac{\ln y}{y}\to 0\).
Logo \(\lim _{x\to -\infty }g\left( x \right)=2\) e a reta \(y=2\) é assíntota horizontal ao gráfico de \(g\).
Exercício 28
★★★Exame nacionalExame Nacional 2025, época especial — item 7
O paracetamol é um fármaco indicado quer para aliviar as dores leves e moderadas, quer para controlar a febre.
Admita que a concentração de paracetamol, em miligramas por litro de sangue, \(t\) horas após a administração de uma determinada dose terapêutica de paracetamol, é dada, aproximadamente, por
\[C\left( t \right)=125\left( {e}^{-0,2t}-{e}^{-t} \right), \text{com}t>0\]
Admita ainda que, para produzir efeito terapêutico significativo, a concentração de paracetamol tem de ser superior a \(15\) miligramas por litro de sangue.
Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, após a administração da referida dose terapêutica, o paracetamol produz efeito terapêutico significativo.
Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.
Na sua resposta: apresente uma condição que lhe permita resolver o problema; represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s); apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às milésimas.
Ver resolução
A condição que traduz o problema é \(C\left( t \right)>15\).
Com a calculadora, representam-se \(y=C\left( t \right)\) e \(y=15\) e determinam-se as abcissas dos pontos de intersecção: \(t\approx 0,166\) e \(t\approx 10,600\).
O efeito terapêutico significativo dura \(10,600-0,166=10,434\) horas.
\(0,434\times 60\approx 26\) minutos, ou seja, aproximadamente 10 horas e 26 minutos.
Exercício 29
★★★Exame nacionalExame Nacional 2024, 1.ª fase — item 4
Determine o conjunto dos números reais que verificam a condição \({\ln }^{2}x-\ln x-2<0\).
Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de reunião de intervalos de números reais.
Ver resolução
O domínio da condição é \(\left] 0,+\infty \right[\).
Fazendo \(y=\ln x\): \({y}^{2}-y-2<0\); as raízes de \({y}^{2}-y-2=0\) são \(y=-1\) e \(y=2\).
Como a parábola tem concavidade voltada para cima, \({y}^{2}-y-2<0\Leftrightarrow -1<y<2\).
Então \(-1<\ln x<2\Leftrightarrow {e}^{-1}<x<{e}^{2}\).
O conjunto pedido é \(\left] \frac{1}{e},{e}^{2} \right[\).
Exercício 30
★★★Exame nacionalExame Nacional 2024, 2.ª fase — item 3
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \({R}^{+}\), definida por \(f\left( x \right)={\log }_{2a}x\), com \(a>1\), e o trapézio \(\left[ ABCD \right]\).
Sabe-se que:
os pontos \(A\) e \(B\) pertencem ao eixo \(Ox\) e têm abcissas \(a\) e \(a+4\), respetivamente;
os pontos \(D\) e \(C\) pertencem ao gráfico de \(f\) e têm abcissas \(a\) e \(a+4\), respetivamente.
Determine o valor de \(a\) para o qual a área do trapézio \(\left[ ABCD \right]\) é igual a \(4\).
Ver resolução
\(D=\left( a,{\log }_{2a}a \right)\) e \(C=\left( a+4,{\log }_{2a}\left( a+4 \right) \right)\).
\(\overline{AB}=4\), \(\overline{AD}={\log }_{2a}a\) e \(\overline{BC}={\log }_{2a}\left( a+4 \right)\) (ordenadas de \(D\) e \(C\), ambas positivas pois \(a>1\)).
Área do trapézio \(=\frac{\overline{AD}+\overline{BC}}{2}\times \overline{AB}\), pelo que a condição é
\[\frac{{\log }_{2a}a+{\log }_{2a}\left( a+4 \right)}{2}\times 4=4\]
\(\Leftrightarrow {\log }_{2a}a+{\log }_{2a}\left( a+4 \right)=2\Leftrightarrow {\log }_{2a}\left[ a\left( a+4 \right) \right]=2\Leftrightarrow {\log }_{2a}\left( {a}^{2}+4a \right)=2\).
Pela definição de logaritmo: \({a}^{2}+4a={\left( 2a \right)}^{2}\Leftrightarrow {a}^{2}+4a=4{a}^{2}\Leftrightarrow -3{a}^{2}+4a=0\Leftrightarrow a\left( -3a+4 \right)=0\).
\(\Leftrightarrow a=0 \lor a=\frac{4}{3}\).
Como se exige \(a>1\), a solução \(a=0\) não é admissível; \(a=\frac{4}{3}\) satisfaz \(a>1\), pelo que é o valor pedido.
Exercício 31
★★★Exame nacionalExame Nacional 2024, época especial — item 10
Admita que, nos primeiros quinze minutos de uma reação química entre duas substâncias, a massa, \(m\), de uma das substâncias, medida em gramas, é dada, \(t\) minutos após o início da reação, por
\[m\left( t \right)=\frac{1764}{1-0,16\,{e}^{-0,42t}}, \text{com}0\le t\le 15\]
No primeiro minuto da reação, existe um instante \(a\) para o qual se verifica que, no intervalo de tempo \(\left[ a,3a \right]\), a massa dessa substância diminui \(5\%\).
Determine, recorrendo à calculadora, a amplitude desse intervalo.
Apresente o resultado em minutos e segundos, com arredondamento ao segundo.
Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.
Ver resolução
“A massa diminui \(5\%\)” no intervalo \(\left[ a,3a \right]\) significa que \(m\left( 3a \right)=\left( 1-0,05 \right)\,m\left( a \right)=0,95\,m\left( a \right)\). A equação a resolver, para \(a\in \left] 0,1 \right[\), é
\[m\left( 3x \right)=0,95\,m\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{1764}{1-0,16{e}^{-1,26x}}=0,95\times \frac{1764}{1-0,16{e}^{-0,42x}}\]
Visualizando na calculadora, em \(\left] 0,1 \right[\), os gráficos de \({y}_{1}=\frac{1764}{1-0,16{e}^{-1,26x}}\) e \({y}_{2}=0,95\times \frac{1764}{1-0,16{e}^{-0,42x}}\), e assinalando o ponto de interseção, obtém-se \(a\approx 0,527\).
A amplitude do intervalo \(\left[ a,3a \right]\) é \(3a-a=2a\approx 1,055\) minutos, ou seja, aproximadamente \(1\) minuto e \(3\) segundos.
Exercício 32
★★★Exame nacionalExame Nacional 2023, 1.ª fase — item 8
Uma empresa está a desenvolver um programa de testes para melhorar a propulsão de foguetes.
Os foguetes utilizados partem do solo e seguem uma trajetória vertical.
Em relação a um dos modelos de foguete utilizados, admita que, após o lançamento e até se esgotar o combustível, a sua distância ao solo, \(a\), em metros, é dada, a cada instante \(t\), em segundos, por
\[a\left( t \right)=100\left[ t+\left( 10-t \right)\ln \left( 1-\frac{t}{10} \right) \right]-4,9{t}^{2}, \text{com}t\in \left[ 0,8 \right]\]
Determine, utilizando a calculadora gráfica, o instante a partir do qual, durante \(3\) segundos, esse foguete percorre \(25\) metros.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.
Ver resolução
Pretende-se o instante \(t\) a partir do qual, durante os \(3\) segundos seguintes, o foguete percorre \(25\) metros, ou seja, \(a\left( t+3 \right)-a\left( t \right)=25\), com \(t\in \left[ 0,5 \right]\) (para que \(t+3\le 8\)).
Visualizando na calculadora, em \(\left[ 0,5 \right]\), os gráficos de \({y}_{1}=a\left( x+3 \right)-a\left( x \right)\) e \({y}_{2}=25\), e assinalando o ponto de interseção, obtém-se \(t\approx 1,8\) segundos.
Exercício 33
★★★Exame nacionalExame Nacional 2023, época especial — item 10
Resolva, em \(R\), a equação
\[\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}=\frac{1}{3}.\]
Ver resolução
Multiplicando o numerador e o denominador por \({e}^{x}\):
\[\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{2x}+1}=\frac{1}{3}.\]
Seja \(u={e}^{2x}\) (com \(u>0\)). A equação fica \(\frac{u-1}{u+1}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3\left( u-1 \right)=u+1\Leftrightarrow 3u-3=u+1\Leftrightarrow 2u=4\Leftrightarrow u=2\).
Logo \({e}^{2x}=2\Leftrightarrow 2x=\ln 2\Leftrightarrow x=\frac{\ln 2}{2}=\ln \sqrt{2}\).
Como \(u=2>0\), a solução é válida: \(x=\frac{\ln 2}{2}\).
Exercício 34
★★★Exame nacionalExame Nacional 2022, 1.ª fase — item 14
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine os números reais que são solução da equação
\[\left( {e}^{x}-1 \right)\ln \left( 5-2x \right)+{e}^{x}\ln \left( 3-x \right)=\ln \left( 3-x \right).\]
Ver resolução
A equação exige \(5-2x>0\) e \(3-x>0\), ou seja, \(x<\frac{5}{2}\) e \(x<3\): o domínio das condições é \(x<\frac{5}{2}\).
Passando \(\ln \left( 3-x \right)\) para o primeiro membro:
\[\left( {e}^{x}-1 \right)\ln \left( 5-2x \right)+{e}^{x}\ln \left( 3-x \right)-\ln \left( 3-x \right)=0\Leftrightarrow \left( {e}^{x}-1 \right)\ln \left( 5-2x \right)+\left( {e}^{x}-1 \right)\ln \left( 3-x \right)=0.\]
Colocando \(\left( {e}^{x}-1 \right)\) em evidência:
\[\left( {e}^{x}-1 \right)\left[ \ln \left( 5-2x \right)+\ln \left( 3-x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left( {e}^{x}-1 \right)\ln \left[ \left( 5-2x \right)\left( 3-x \right) \right]=0.\]
Esta equação é zero se \({e}^{x}-1=0\) ou se \(\ln \left[ \left( 5-2x \right)\left( 3-x \right) \right]=0\).
Caso 1: \({e}^{x}-1=0\Leftrightarrow x=0\) (válido, pois \(0<\frac{5}{2}\)).
Caso 2: \(\ln \left[ \left( 5-2x \right)\left( 3-x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left( 5-2x \right)\left( 3-x \right)=1\). Desenvolvendo: \(15-5x-6x+2{x}^{2}=1\Leftrightarrow 2{x}^{2}-11x+14=0\). Resolvendo: \(x=\frac{11\pm \sqrt{121-112}}{4}=\frac{11\pm 3}{4}\), ou seja, \(x=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\) ou \(x=\frac{8}{4}=2\).
Como o domínio exige \(x<\frac{5}{2}\), rejeita-se \(x=\frac{7}{2}\); \(x=2\) é válido.
As soluções da equação são \(x=0\) e \(x=2\).
Exercício 35
★★★Exame nacionalExame Nacional 2021, 2.ª fase — item 12
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, para um certo número real \(k\), a função \(g\), de domínio \(R\\{0\}\), definida por
\[g\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}\frac{{x}^{3}-x}{{x}^{2}-x}+k & \;\text{se}\;x<0 \\ 2+x\ln x & \;\text{se}\;x>0\end{matrix} \right.\]
Sabe-se que existe \(\lim _{x\to 0}g\left( x \right)\).
Determine o valor de \(k\).
Ver resolução
Para \(x<0\) (logo \(x\ne 0,1\)): \(\frac{{x}^{3}-x}{{x}^{2}-x}=\frac{x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x\left( x-1 \right)}=x+1\), pelo que \(g\left( x \right)=x+1+k\).
\(\lim _{x\to {0}^{-}}g\left( x \right)=0+1+k=1+k\).
Para \(x>0\), usando o limite notável \(\lim _{x\to {0}^{+}}x\ln x=0\): \(\lim _{x\to {0}^{+}}g\left( x \right)=2+0=2\).
Para que exista \(\lim _{x\to 0}g\left( x \right)\), os limites laterais têm de ser iguais: \(1+k=2\Leftrightarrow k=1\).
Exercício 36
★★★Exame nacionalExame Nacional 2021, 2.ª fase — item 13
Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação
\[x\ln \left( 1-x \right)-\ln \left( 1-x \right)=\left( 1-x \right)\ln \left( 3-2x \right)\]
Ver resolução
Domínio: \(1-x>0\Leftrightarrow x<1\) e \(3-2x>0\Leftrightarrow x<\frac{3}{2}\); conjuga-se em \(x<1\).
O primeiro membro fatoriza-se: \(x\ln \left( 1-x \right)-\ln \left( 1-x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( 1-x \right)=-\left( 1-x \right)\ln \left( 1-x \right)\).
A equação fica \(-\left( 1-x \right)\ln \left( 1-x \right)=\left( 1-x \right)\ln \left( 3-2x \right)\); como \(x<1\), \(1-x\ne 0\), pelo que se pode dividir por \(-\left( 1-x \right)\): \(\ln \left( 1-x \right)=-\ln \left( 3-2x \right)\).
\(\ln \left( 1-x \right)+\ln \left( 3-2x \right)=0\Leftrightarrow \ln \left[ \left( 1-x \right)\left( 3-2x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left( 1-x \right)\left( 3-2x \right)=1\).
\(3-2x-3x+2{x}^{2}=1\Leftrightarrow 2{x}^{2}-5x+2=0\).
\(x=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{4}=\frac{5\pm 3}{4}\), pelo que \(x=2\) ou \(x=\frac{1}{2}\).
Como \(x<1\), rejeita-se \(x=2\). O conjunto-solução é \(\left\{ \frac{1}{2} \right\}\).
Exercício 37
★★★Exame nacionalExame Nacional 2021, época especial — item 11
Seja \(g\) a função, de domínio \(\left] 0,\frac{\pi }{2} \right[\), definida por
\[g\left( x \right)={\log }_{2}\left( 1-\cos x \right)+{\log }_{2}\left( 1+\cos x \right)+2{\log }_{2}\left( 2\cos x \right)\]
Mostre que \(g\left( x \right)=2{\log }_{2}\left( \operatorname{sen}\left( 2x \right) \right)\).
Ver resolução
\({\log }_{2}\left( 1-\cos x \right)+{\log }_{2}\left( 1+\cos x \right)={\log }_{2}\left[ \left( 1-\cos x \right)\left( 1+\cos x \right) \right]={\log }_{2}\left( 1-{\cos }^{2}x \right)={\log }_{2}\left( {\operatorname{sen}}^{2}x \right)\).
\(2{\log }_{2}\left( 2\cos x \right)={\log }_{2}\left( {\left( 2\cos x \right)}^{2} \right)={\log }_{2}\left( 4{\cos }^{2}x \right)\).
\(g\left( x \right)={\log }_{2}\left( {\operatorname{sen}}^{2}x \right)+{\log }_{2}\left( 4{\cos }^{2}x \right)={\log }_{2}\left( 4{\operatorname{sen}}^{2}x{\cos }^{2}x \right)={\log }_{2}\left[ {\left( 2\operatorname{sen}x\cos x \right)}^{2} \right]={\log }_{2}\left( {\operatorname{sen}}^{2}\left( 2x \right) \right)\).
Como \(x\in \left] 0,\frac{\pi }{2} \right[\), \(2x\in ]0,\pi [\), pelo que \(\operatorname{sen}\left( 2x \right)>0\) e \({\operatorname{sen}}^{2}\left( 2x \right)={\left| \operatorname{sen}\left( 2x \right) \right|}^{2}\); logo \(g\left( x \right)=2{\log }_{2}\left( \operatorname{sen}\left( 2x \right) \right)\), como se pretendia.
Exercício 38
★★★Exame nacionalExame Nacional 2021, época especial — item 14
Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que verificam a condição
\[{e}^{-x}\left( 4+{e}^{2x} \right)\ge 5\land -2\le x\le 2\]
Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de reunião de intervalos de números reais.
Ver resolução
\({e}^{-x}\left( 4+{e}^{2x} \right)=4{e}^{-x}+{e}^{-x}{e}^{2x}=4{e}^{-x}+{e}^{x}\).
Seja \(t={e}^{x}>0\); a inequação fica \(\frac{4}{t}+t\ge 5\), ou, multiplicando por \(t>0\): \(4+{t}^{2}\ge 5t\Leftrightarrow {t}^{2}-5t+4\ge 0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( t-4 \right)\ge 0\Leftrightarrow t\le 1\lor t\ge 4\).
\({e}^{x}\le 1\Leftrightarrow x\le 0\); \({e}^{x}\ge 4\Leftrightarrow x\ge \ln 4\).
Conjugando com \(-2\le x\le 2\): \(x\in \left[ -2,0 \right]\) ou \(x\in \left[ \ln 4,2 \right]\).
O conjunto-solução é \(\left[ -2,0 \right]\cup \left[ \ln 4,2 \right]\).
Exercício 39
★★★Exame nacionalExame Nacional 2020, 1.ª fase — itens 9.2, 9.3
Seja \(f\) a função definida em \(\left] -\infty ,2 \right]\) por
\[f\left( x \right)=x+\ln \left( {e}^{x}+1 \right)\]
Resolva os itens 9.1 e 9.2 sem recorrer à calculadora.
a) [★★★] A equação \(f\left( x \right)=2x+1\) tem uma única solução.
Determine essa solução e apresente-a na forma \(-\ln k\), com \(k>0\).
Seja \(h\) a função definida em \(\left] -\infty ,2 \right]\) por \(h\left( x \right)=f\left( x \right)-x\), sendo \(f\left( x \right)=x+\ln \left( {e}^{x}+1 \right)\).
b) [★★] Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica da função \({h}^{-1}\), função inversa de \(h\)?
(A) \({e}^{x}-1\)
(B) \(1-{e}^{x}\)
(C) \(\ln \left( {e}^{x}-1 \right)\)
(D) \(\ln \left( 1-{e}^{x} \right)\)
Ver resolução
a) ★★★
\(f\left( x \right)=2x+1\Leftrightarrow x+\ln \left( {e}^{x}+1 \right)=2x+1\Leftrightarrow \ln \left( {e}^{x}+1 \right)=x+1\).
\(\Leftrightarrow {e}^{x}+1={e}^{x+1}\Leftrightarrow {e}^{x}+1=e\cdot {e}^{x}\Leftrightarrow 1={e}^{x}\left( e-1 \right)\Leftrightarrow {e}^{x}=\frac{1}{e-1}\).
\(\Leftrightarrow x=\ln \left( \frac{1}{e-1} \right)=-\ln \left( e-1 \right)\).
A solução é \(x=-\ln \left( e-1 \right)\).
b) ★★
\(h\left( x \right)=f\left( x \right)-x=\ln \left( {e}^{x}+1 \right)\).
Para determinar \({h}^{-1}\), resolve-se \(y=\ln \left( {e}^{x}+1 \right)\) em ordem a \(x\): \({e}^{y}={e}^{x}+1\Leftrightarrow {e}^{x}={e}^{y}-1\Leftrightarrow x=\ln \left( {e}^{y}-1 \right)\).
Trocando \(x\) com \(y\): \({h}^{-1}\left( x \right)=\ln \left( {e}^{x}-1 \right)\).
Resposta: (C)
Exercício 40
★★★Exame nacionalExame Nacional 2022, 1.ª fase — itens 9.1, 9.2
Na Figura 4, está representado um cabo suspenso pelas suas extremidades em dois postes iguais, distanciados \(10\) metros entre si. Os postes estão instalados perpendicularmente ao solo, num terreno plano e horizontal. O ponto do cabo mais próximo do solo é equidistante dos dois postes.
Seja \(h\) a função, de domínio \(\left[ 0,10 \right]\), definida por
\[h\left( x \right)=6,3\left( {e}^{\frac{x-5}{12,6}}+{e}^{\frac{5-x}{12,6}} \right)-7,6.\]
Admita que \(h\left( x \right)\) é a altura, relativamente ao solo, em metros, de um ponto do cabo situado a \(x\) metros do poste da esquerda.
a) [★★] Qual é a distância, arredondada às décimas de metro, da base do poste da esquerda ao ponto do cabo que está mais próximo do solo?
(A) \(7,1 m\)
(B) \(7,3 m\)
(C) \(7,6 m\)
(D) \(7,8 m\)
b) [★★★] Para um ponto do cabo situado a \(d\) metros do poste da esquerda, verifica-se que, diminuindo \(50\%\) essa distância, a altura, relativamente ao solo, diminui \(30\) centímetros.
Determine, recorrendo à calculadora, o valor de \(d\), sabendo-se que este valor existe e é único.
Apresente o resultado arredondado às décimas de metro.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) relevante(s), arredondada(s) às centésimas.
Ver resolução
a) ★★
Resposta: (A)
Como o ponto do cabo mais próximo do solo é equidistante dos dois postes (dado no enunciado), esse ponto corresponde a \(x=5\).
A altura nesse ponto é \(h\left( 5 \right)=6,3\left( {e}^{0}+{e}^{0} \right)-7,6=6,3\times 2-7,6=12,6-7,6=5\) metros.
A base do poste da esquerda tem coordenadas \(\left( 0,0 \right)\) e o ponto do cabo mais próximo do solo tem coordenadas \(\left( 5,5 \right)\) (no referencial sugerido pela figura, com o solo no eixo horizontal). A distância pedida é a distância entre estes dois pontos:
\[\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7,1 m.\]
b) ★★★
Diminuir \(50\%\) a distância \(d\) corresponde a considerar a distância \(\frac{d}{2}\); a altura nesse novo ponto é \(h\left( \frac{d}{2} \right)\).
Como a altura diminui \(30\) centímetros \(=0,3\) metros ao passar do ponto a distância \(d\) para o ponto a distância \(\frac{d}{2}\), a equação a resolver é
\[h\left( d \right)-h\left( \frac{d}{2} \right)=0,3.\]
Com a calculadora, representam-se os gráficos de \({y}_{1}=h\left( x \right)-h\left( \frac{x}{2} \right)\) e de \({y}_{2}=0,3\), e determina-se a abcissa do ponto de interseção, em \(\left[ 0,10 \right]\).
Obtém-se o ponto de interseção de coordenadas aproximadas \(\left( 7,93,\,0,30 \right)\), pelo que \(d\approx 7,9\) metros.
Exercício 41
★★★Exercício de editoraQuestões tipo exame, Espiral 12 (Porto Editora, 2025/2026) — itens 6.1, 6.2
Admite que uma doença muito contagiosa começa a proliferar numa escola e que o número de infetados, \(I\), dessa escola, é dado em função do tempo, em dias, pelo modelo matemático
\[I\left( t \right)=\frac{1200}{1+99\times {2}^{-0,5t}}, \text{com}t\ge 0\]
Sabe-se que \(t=0\) corresponde ao dia em que foram detetados os primeiros infetados.
a) Seja \({I}_{0}\) o número de infetados no momento em que foi detetado o surto da doença na escola.
De acordo com o modelo, determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, ao fim de quantos dias o número de infetados é dez vezes maior do que \({I}_{0}\).
Apresenta o resultado arredondado às unidades.
b) Mostra que \(t={\log }_{2}\left( {\left( \frac{99I}{1200-I} \right)}^{2} \right)\).
Ver resolução
a) ★★★
\({I}_{0}=I\left( 0 \right)=\frac{1200}{1+99\times {2}^{0}}=\frac{1200}{1+99}=\frac{1200}{100}=12\).
Pretende-se resolver \(I\left( t \right)=10\times 12=120\), isto é, \(\frac{1200}{1+99\times {2}^{-0,5t}}=120\).
Visualizando, numa calculadora gráfica, os gráficos de \(y=\frac{1200}{1+99\times {2}^{-0,5x}}\) e de \(y=120\), e determinando a abcissa do ponto de interseção, obtém-se \(t\approx 6,92\).
Arredondando às unidades, o número de infetados é dez vezes maior do que \({I}_{0}\) ao fim de \(7\) dias.
b) ★★★
Partindo de \(I=\frac{1200}{1+99\times {2}^{-0,5t}}\): \(1+99\times {2}^{-0,5t}=\frac{1200}{I}\).
\(99\times {2}^{-0,5t}=\frac{1200}{I}-1=\frac{1200-I}{I}\).
\({2}^{-0,5t}=\frac{1200-I}{99I}\), ou, invertendo, \({2}^{0,5t}=\frac{99I}{1200-I}\).
Aplicando \({\log }_{2}\) a ambos os membros: \(0,5t={\log }_{2}\left( \frac{99I}{1200-I} \right)\), pelo que \(t=2{\log }_{2}\left( \frac{99I}{1200-I} \right)\).
Como \(2{\log }_{2}x={\log }_{2}\left( {x}^{2} \right)\) (para \(x>0\)), conclui-se que \(t={\log }_{2}\left( {\left( \frac{99I}{1200-I} \right)}^{2} \right)\).
Exercício 42
★★★Exercício de editoraExame-modelo 1, Prova 635 (matematica.pt, 2027) — itens 5.1, 5.2
Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares, concluiu que a quantidade de azeite vendida num mês por essa empresa depende do preço de venda ao público, de acordo com a seguinte função:
\[V\left( x \right)={e}^{14-x} \left( x>0 \right)\]
sendo \(x\) o preço de venda ao público, em euros, de \(1\) litro desse azeite, e \(V\left( x \right)\) a quantidade vendida num mês, em litros.
a) [★★] A empresa tem um conjunto de despesas (compra ao produtor, empacotamento, publicidade, transportes, etc.) com a compra e a venda do azeite. Sabendo que cada litro de azeite vendido acarreta à empresa uma despesa total de \(3\) euros, justifique que o lucro mensal da empresa (em euros), resultante da venda do azeite, é dado por
\[L\left( x \right)=\left( x-3 \right){e}^{14-x}\]
b) [★★★] Utilize a calculadora para resolver graficamente o seguinte problema:
Entre que valores deve variar o preço de venda ao público de um litro de azeite para que o lucro mensal seja superior a \(16\,500\) euros? Apresente os valores em euros, arredondados aos cêntimos.
Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora.
Ver resolução
a) ★★
O lucro que a empresa obtém em cada litro de azeite vendido é a diferença entre o preço de venda ao público e a despesa que lhe está associada: \(x-3\).
O lucro mensal \(L\), em euros, resultante da venda do azeite, é igual ao produto do lucro obtido em cada litro pelo número de litros vendidos nesse mês: \(L\left( x \right)=\left( x-3 \right)\times V\left( x \right)\).
Substituindo \(V\left( x \right)={e}^{14-x}\): \(L\left( x \right)=\left( x-3 \right){e}^{14-x}\), como se pretendia justificar.
b) ★★★
Pretende-se resolver graficamente a inequação \(L\left( x \right)>16\,500\), com \(L\left( x \right)=\left( x-3 \right){e}^{14-x}\).
Visualizando, numa calculadora gráfica, os gráficos de \(y=\left( x-3 \right){e}^{14-x}\) e de \(y=16\,500\), e determinando as abcissas dos pontos de interseção, obtêm-se, arredondadas aos cêntimos, \(x\approx 3,42\) e \(x\approx 4,96\).
Como a função \(L\) cresce e depois decresce (um único máximo), \(L\left( x \right)>16\,500\) entre as duas abcissas de interseção.
Conclui-se que o preço de venda ao público de um litro de azeite deve variar entre \(3,42\) € e \(4,96\) € para que o lucro mensal seja superior a \(16\,500\) euros.
Exercício 43
★★★Exercício de editora“Prova 2” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — item 12
Determina os números reais que são solução da equação
\[{\log }_{2}\left( x+2 \right)=3\times {4}^{x+1}\times {\log }_{2}\left( x+2 \right)-{\log }_{2}\sqrt{x+2}\]
Ver resolução
A equação exige \(x+2>0\), ou seja, \(x>-2\).
Seja \(L={\log }_{2}\left( x+2 \right)\). Como \({\log }_{2}\sqrt{x+2}=\frac{1}{2}{\log }_{2}\left( x+2 \right)=\frac{1}{2}L\), a equação fica \(L=3\times {4}^{x+1}\times L-\frac{1}{2}L\).
\(L+\frac{1}{2}L=3\times {4}^{x+1}L\Leftrightarrow \frac{3}{2}L=3\times {4}^{x+1}L\Leftrightarrow L\left( \frac{3}{2}-3\times {4}^{x+1} \right)=0\).
Logo, \(L=0\) ou \({4}^{x+1}=\frac{1}{2}\).
Se \(L=0\): \({\log }_{2}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x+2=1\Leftrightarrow x=-1\) (satisfaz \(x>-2\)).
Se \({4}^{x+1}=\frac{1}{2}\): \({2}^{2\left( x+1 \right)}={2}^{-1}\Leftrightarrow 2\left( x+1 \right)=-1\Leftrightarrow x+1=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\) (satisfaz \(x>-2\)).
As soluções da equação são \(x=-1\) e \(x=-\frac{3}{2}\).
Exercício 44
★★★Exercício de editora“Prova 3” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — itens 8.1, 8.2
Uma amostra do isótopo radioativo bário-137 foi colocada em repouso. A massa da amostra, em miligramas, \(t\) minutos após ter sido colocada em repouso, é dada, aproximadamente, por
\[f\left( t \right)=a\,{e}^{-0,2666t}\]
sendo \(a\) a massa inicial da amostra.
a) [★★] Mostra que \(\frac{f\left( t+2 \right)}{f\left( t \right)}\) é constante e interpreta o resultado no contexto da situação descrita, apresentando-o em percentagem, arredondado às unidades.
b) [★★★] Uma outra amostra do isótopo radioativo bário-129 foi colocada em repouso ao mesmo tempo que a amostra de bário-137. A massa dessa amostra de bário-129, \(t\) minutos após ter sido colocada em repouso, é dada, aproximadamente, por
\[g\left( t \right)=b\,{e}^{-0,3209t}\]
sendo \(b\) a massa inicial da amostra.
A massa inicial de bário-137 tinha \(3\) mg e a de bário-129 tinha \(4\) mg.
Existe um instante tal que, passado o mesmo tempo que passou até esse instante, a massa de bário-137 é \(0,3\) mg menor do que a massa de bário-129.
Recorrendo à calculadora gráfica, determina esse instante.
Na tua resposta: - apresenta a equação que te permite resolver o problema; - reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinala o ponto relevante para a resolução do problema; - apresenta o instante em minutos, arredondado às décimas.
Ver resolução
a) ★★
\(\frac{f\left( t+2 \right)}{f\left( t \right)}=\frac{a\,{e}^{-0,2666\left( t+2 \right)}}{a\,{e}^{-0,2666t}}={e}^{-0,2666\left( t+2 \right)+0,2666t}={e}^{-0,2666\times 2}={e}^{-0,5332}\).
Esta expressão não depende de \(t\), pelo que o quociente \(\frac{f\left( t+2 \right)}{f\left( t \right)}\) é, de facto, constante.
\({e}^{-0,5332}\approx 0,5867\), ou seja, aproximadamente \(59\%\).
Interpretação: em cada intervalo de \(2\) minutos, a massa da amostra de bário-137 reduz-se para cerca de \(59\%\) do seu valor anterior, independentemente do instante \(t\) considerado (ou seja, perde aproximadamente \(41\%\) da sua massa a cada \(2\) minutos).
b) ★★★
Com \(a=3\) e \(b=4\), tem-se \(f\left( t \right)=3{e}^{-0,2666t}\) e \(g\left( t \right)=4{e}^{-0,3209t}\).
Seja \(τ\) o instante procurado. A condição “passado o mesmo tempo que passou até esse instante” significa que, no instante \(2τ\) (o dobro de \(τ\)), a massa de bário-137 é \(0,3\) mg menor do que a de bário-129: \(f\left( 2τ \right)=g\left( 2τ \right)-0,3\), ou seja, \(g\left( 2τ \right)-f\left( 2τ \right)=0,3\):
\[4{e}^{-0,3209\times 2τ}-3{e}^{-0,2666\times 2τ}=0,3\]
Introduzindo na calculadora gráfica as funções \({y}_{1}=4{e}^{-0,3209x}-3{e}^{-0,2666x}\) e \({y}_{2}=0,3\) (com \(x=2τ\)), e representando-as no mesmo referencial, obtém-se um único ponto de interseção relevante (para \(x>0\)), de abcissa aproximadamente \(2,23\).
Como \(x=2τ\), vem \(τ\approx \frac{2,23}{2}\approx 1,1\).
O instante procurado, arredondado às décimas, é \(τ\approx 1,1\) minutos.
Exercício 45
★★★Exercício de editora“Prova 4” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — itens 2.1, 2.2
Considera um número real \(a\) positivo diferente de \(1\), para o qual é contínua a função \(g\), de domínio \(R\), definida por:
\[g\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}\frac{{\ln }^{2}\left( 2-x \right)}{{x}^{2}-2x+1} & \;\text{se}\;x<1 \\ \frac{{\ln }^{2}x}{2}-\ln x+{\log }_{a}\left( 5a-2 \right) & \;\text{se}\;x\ge 1\end{matrix} \right.\]
a) Mostra que \(a=\frac{1}{2}\).
b) Mostra que, para \(x\in \,]1,+\infty [\), \(g″\left( x \right)=\frac{2-\ln x}{{x}^{2}}\), e estuda a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão.
Na tua resposta, apresenta:
o(s) intervalo(s) em que o gráfico de \(g\) tem concavidade voltada para baixo;
o(s) intervalo(s) em que o gráfico de \(g\) tem concavidade voltada para cima;
a(s) coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de \(g\).
Ver resolução
a) ★★★
Como \(g\) é contínua em \(R\), é, em particular, contínua em \(x=1\), pelo que \({\lim }_{x\to {1}^{-}}g\left( x \right)=g\left( 1 \right)\).
Notando que \({x}^{2}-2x+1={\left( x-1 \right)}^{2}\), e fazendo \(x=1-\varepsilon \) (com \(\varepsilon \to {0}^{+}\) quando \(x\to {1}^{-}\)), tem-se \(2-x=1+\varepsilon \) e \({\left( x-1 \right)}^{2}={\varepsilon }^{2}\), pelo que:
\[\lim _{x\to {1}^{-}}g\left( x \right)=\lim _{\varepsilon \to {0}^{+}}\frac{{\ln }^{2}\left( 1+\varepsilon \right)}{{\varepsilon }^{2}}={\left( \lim _{\varepsilon \to {0}^{+}}\frac{\ln \left( 1+\varepsilon \right)}{\varepsilon } \right)}^{2}={1}^{2}=1\]
(usando o limite notável \({\lim }_{u\to 0}\frac{\ln \left( 1+u \right)}{u}=1\)).
\(g\left( 1 \right)=\frac{{\ln }^{21}}{2}-\ln 1+{\log }_{a}\left( 5a-2 \right)=0-0+{\log }_{a}\left( 5a-2 \right)={\log }_{a}\left( 5a-2 \right)\).
Igualando: \({\log }_{a}\left( 5a-2 \right)=1\Leftrightarrow 5a-2={a}^{1}=a\Leftrightarrow 4a=2\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\), como se pretendia mostrar (com \(5a-2=5\times \frac{1}{2}-2=\frac{1}{2}>0\), pelo que o logaritmo está bem definido).
b) ★★★
Com \(a=\frac{1}{2}\) (alínea anterior), \({\log }_{a}\left( 5a-2 \right)={\log }_{1/2}\left( \frac{1}{2} \right)=1\), pelo que, para \(x\ge 1\): \(g\left( x \right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}-\ln x+1\).
\(g'\left( x \right)=\frac{2\ln x\times \frac{1}{x}}{2}-\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{\ln x-1}{x}\).
\(g″\left( x \right)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\left( \ln x-1 \right)\times 1}{{x}^{2}}=\frac{1-\ln x+1}{{x}^{2}}=\frac{2-\ln x}{{x}^{2}}\), como se pretendia mostrar.
\(g″\left( x \right)=0\Leftrightarrow \ln x=2\Leftrightarrow x={e}^{2}\) (válido, pois \({e}^{2}\in \,]1,+\infty [\)).
Para \(1<x<{e}^{2}\): \(\ln x<2\), pelo que \(2-\ln x>0\) e \(g″\left( x \right)>0\) (concavidade voltada para cima). Para \(x>{e}^{2}\): \(\ln x>2\), pelo que \(2-\ln x<0\) e \(g″\left( x \right)<0\) (concavidade voltada para baixo).
O gráfico de \(g\) tem a concavidade voltada para cima em \(]1,{e}^{2}]\) e voltada para baixo em \([{e}^{2},+\infty [\), tendo um ponto de inflexão de abcissa \({e}^{2}\).
\(g\left( {e}^{2} \right)=\frac{{\ln }^{2}\left( {e}^{2} \right)}{2}-\ln \left( {e}^{2} \right)+1=\frac{{2}^{2}}{2}-2+1=2-2+1=1\). O ponto de inflexão tem coordenadas \(\left( {e}^{2},1 \right)\).