Estatística

Exame Nacional 2026, 1.ª fase — item 3

Existem vários indicadores utilizados na monitorização de um peso saudável. Dois desses indicadores são o Índice de Massa Corporal (IMC), expresso em quilogramas por metro quadrado, e a Taxa Metabólica Basal (TMB), expressa em quilocalorias por dia.

Na Tabela 1, apresentam-se os valores do IMC e da TMB de sete mulheres.

Na Figura 1, estão representados, para as variáveis idade, em anos, e TMB, em quilocalorias por dia, das sete mulheres: o diagrama de dispersão; a reta de regressão e a respetiva equação reduzida; o quadrado do coeficiente de correlação linear, \({r}^{2}\).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

A média dos valores da TMB das sete mulheres, arredondada às unidades, é (a) quilocalorias por dia.

Relativamente à distribuição dos valores do IMC apresentados na Tabela 1, existem exatamente (b) mulheres com IMC pertencente ao intervalo \(\left] {Q}_{1},{Q}_{3} \right[\), em que \({Q}_{1}\) e \({Q}_{3}\) são, respetivamente, o primeiro quartil e o terceiro quartil dessa distribuição.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Tabela 1 é (c) ao coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Figura 1.

Relativamente às variáveis apresentadas no diagrama de dispersão, e admitindo a validade do modelo de regressão linear aí apresentado, uma mulher com \(43\) anos terá uma TMB aproximadamente igual a (d) quilocalorias por dia (valor arredondado às unidades).

Exame Nacional 2024, 1.ª fase — item 6

O gráfico da Figura 2 apresenta a distribuição das classificações finais, em valores, na disciplina de Português, dos 20 alunos de uma turma.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da Figura 2.

Na turma, há I alunos com classificação final inferior a 13 valores na disciplina de Português.

A mediana da distribuição das classificações finais na disciplina de Português é II valores.

A classificação média final na disciplina de Português é III valores, e o desvio padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é IV valores.

(A) I: a) 4 b) 6 c) 10

(B) II: a) 12,5 b) 13 c) 13,5

(C) III: a) 13,4 b) 13,6 c) 13,8

(D) IV: a) 2,9 b) 3,8 c) 4,1

Exame Nacional 2024, 2.ª fase — item 4

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à remuneração base média mensal dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, por sexo, em seis anos pertencentes ao período de 1995 a 2020.

Fonte: PORDATA (consultado em setembro de 2023).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela anterior.

A mediana da remuneração base média mensal dos homens é I euros, e a amplitude interquartil é II euros.

De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a III.

O coeficiente de correlação linear das variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às milésimas, é IV.

(A) I: a) 832,5 b) 854,3 c) 904,6

(B) II: a) 315,4 b) 440,9 c) 566,4

(C) III: a) 14,1% b) 16,4% c) 17,2%

(D) IV: a) 0,874 b) 0,913 c) 0,998

Exame Nacional 2024, época especial — item 6

Uma empresa tem \(50\) funcionários, dos quais \(12\) são da área comercial e os restantes são da área de produção.

A distribuição dos vencimentos, em euros, dos funcionários da área de produção tem média \(1010\), desvio padrão \(62,71\) e mediana \(900\).

Na tabela seguinte, estão representados os vencimentos, em euros, dos \(12\) funcionários da área comercial.

Nenhum dos funcionários da empresa tem vencimento igual a \(900\) euros.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

A mediana dos vencimentos dos funcionários da área comercial é I euros, e o vencimento médio dos funcionários desta área é II ao vencimento médio dos funcionários da área de produção.

A dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área de produção é III à dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área comercial.

A percentagem de funcionários da empresa com vencimento menor do que \(900\) euros é IV.

(A) I: a) 930 b) 940 c) 950

(B) II: a) inferior b) igual c) superior

(C) III: a) inferior b) igual c) superior

(D) IV: a) 36% b) 38% c) 50%

Matemática 360, 10.º ano (Raiz Editora) — itens 7.1, 7.2

No seguinte diagrama de caule-e-folhas, estão os pesos\({​}^{*}\), em quilogramas, dos \(26\) jogadores da seleção nacional de futebol que representaram o país no Euro 2024, que se realizou na Alemanha.

\({​}^{*}\)em linguagem corrente, a palavra «peso» é usada como sinónimo de «massa».

a) Qual é a percentagem, arredondada às décimas, de jogadores com mais de \(78\) kg?

(A) \(38,5\%\)

(B) \(46,2\%\)

(C) \(53,8\%\)

(D) \(61,5\%\)

Um dos jogadores chegou mais tarde ao estágio da seleção para o Euro 2024. Depois de pesados todos os restantes \(25\) jogadores, o seu peso médio era de \(74,6\) kg.

b) Qual era o peso do jogador que chegou mais tarde ao estágio?

Matemática 360, 10.º ano (Raiz Editora) — itens 8.1, 8.2, 8.3, 8.4

Uma empresa, que fabrica um certo tipo de peças, detetou algumas peças defeituosas. Foi inspecionada uma amostra com várias caixas, contendo, cada uma, \(100\) peças, tendo-se verificado o seguinte:

a) [★] Qual é a dimensão da amostra?

b) [★★] Na figura, está representado o diagrama de extremos e quartis desta amostra.

Indique os valores de \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) e \(e\) e determine a amplitude interquartil.

c) [★★] Determine \({P}_{65}\).

d) [★★] Indique a moda, o valor da média (arredondado às centésimas), a percentagem de caixas com menos de quatro peças defeituosas e o valor do desvio padrão (arredondado às centésimas) desta amostra.

Espiral 10, Apoio à avaliação (novembro de 2025, Porto Editora) — item 3

Uma empresa de estudos de mercado selecionou, de forma aleatória, \(279\) indivíduos com idades compreendidas entre os \(18\) e os \(65\) anos.

Sabe-se que:

\(160\) indivíduos são do sexo masculino;

o número de indivíduos com \(40\) anos ou mais é o dobro do número de indivíduos com menos de \(40\) anos;

\(65\%\) dos indivíduos do sexo masculino têm \(40\) anos ou mais.

Quantos indivíduos do sexo feminino com menos de \(40\) anos fizeram parte da amostra?

(A) \(119\)

(B) \(37\)

(C) \(82\)

(D) \(56\)

Espiral 10, Apoio à avaliação (novembro de 2025, Porto Editora) — itens 7.1, 7.2, 7.3, 7.4

A secção de atletismo de um clube regista todos os anos, após \(2010\), o melhor tempo realizado por um velocista do clube numa prova de \(100\) m.

a) Indique, com arredondamento às centésimas, o coeficiente de correlação linear entre as variáveis consideradas. Que tipo de conclusão pode ser retirada?

(Dados da tabela do item anterior.)

b) Indique a equação da reta de regressão linear, \(y=ax+b\), arredondando os valores às milésimas, quando necessário.

(Dados da tabela do item 7.1.)

c) Admitindo que o modelo encontrado permanecerá válido, estime o melhor tempo, em segundos, que o velocista realizará em 2026. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Numa competição de atletismo participaram seis atletas do clube na prova dos \(100\) metros, com os seguintes tempos de qualificação, em segundos:

d) Indique, com arredondamento às centésimas, o desvio padrão dos tempos de qualificação desta amostra de seis atletas.

“Prova-Modelo 2”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 8

Na tabela, apresentam-se os dados relativos à altitude média, \(x\) (em metros), e à correspondente temperatura média, \(y\) (em graus Celsius), de uma amostra de oito cidades sul-americanas:

Em eventuais cálculos intermédios, conserva três casas decimais.

Completa o texto seguinte, selecionando a opção adequada para cada espaço:

A amplitude interquartil das temperaturas médias foi igual a I graus Celsius. No que respeita à altitude média das cidades, há II de cidades pertencentes ao intervalo \(]\hat{x},\hat{x}+{s}_{x}[\). O coeficiente de correlação linear entre as variáveis \(x\) e \(y\), arredondado às centésimas, é III. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\), para uma cidade cuja altitude média seja \(1872\) metros, estima-se que a sua temperatura média seja, aproximadamente, IV graus Celsius.

Exame Nacional 2026, 2.ª fase — item 4

O Instituto Nacional de Estatística (INE) realiza, de forma periódica, o Inquérito às Despesas das Famílias, o qual permite analisar o modo como os agregados familiares portugueses distribuem as suas despesas.

Na tabela seguinte, apresentam-se as percentagens da despesa anual média associadas à habitação e à alimentação, em relação à despesa total anual média por agregado familiar, em seis anos do período entre 1989 e 2023.

Fonte: www.ine.pt (consultado em setembro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

O desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à habitação é (a) ao desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à alimentação.

De acordo com dados do INE, em 2022/2023, a despesa anual média associada à alimentação foi \(3121\) euros. Considerando os dados da tabela, em 2022/2023, a despesa anual média associada à habitação, arredondada às unidades, foi (b) euros.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é (c).

Em 2000, a despesa anual média associada à habitação foi \(19,8\%\) da despesa total anual média. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\), e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, estima-se que a percentagem da despesa anual média associada à alimentação, em relação à despesa total anual média, em 2000, foi, aproximadamente, (d) (valor arredondado às décimas).

Exame Nacional 2026, época especial — item 5

Para estudar a associação entre o Produto Interno Bruto (PIB) real per capita de um país e a quantidade de gases com efeito de estufa (GEE) emitidos per capita nesse país, recolheram-se os dados relativos a 2021 de nove países europeus, apresentados na tabela seguinte.

Fonte: PORDATA (consultado em outubro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Em 2021, o PIB real per capita da Roménia foi, aproximadamente, (a) do PIB real per capita do Luxemburgo (valor arredondado às unidades).

Relativamente à distribuição dos valores do PIB real per capita apresentados na tabela, existem exatamente (b) países com PIB real per capita pertencente ao intervalo \(\left] \hat{x}-s,\hat{x}+s \right[\), em que \(\hat{x}\) e \(s\) são, respetivamente, a média e o desvio padrão amostral dessa distribuição.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\) obtido a partir dos dados apresentados na tabela, verifica-se uma correlação linear (c) entre o PIB real per capita e as emissões de GEE per capita. Com base nesse modelo, utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, e sabendo que, em 2021, o PIB real per capita da França foi \(32,53\) milhares de euros, estima-se que, nesse ano, a quantidade de GEE emitidos per capita na França, em tCO₂eq, tenha sido (d) (valor arredondado às décimas).

Exame Nacional 2025, 1.ª fase — item 5

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao diâmetro biparietal, \(x\), em centímetros, medido na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, \(y\), em centímetros, medido à nascença, de uma amostra de oito recém-nascidos numa maternidade.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I cm.

A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é II cm.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é III.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\), e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, para um recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana de gravidez tenha sido \(8,50\) cm, estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, IV cm.

Exame Nacional 2025, 2.ª fase — item 2

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados referentes à produção de pera e de maçã, em quilogramas por hectare (kg/ha), em cada ano, de 2019 a 2023, em Portugal continental.

Fonte: Instituto Nacional de Estatística (consultado em setembro de 2024).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

A mediana dos valores da produção de maçã excede a mediana dos valores da produção de pera em I kg/ha.

De 2020 para 2021, a produção de maçã teve um aumento de, aproximadamente, II.

No que respeita à distribuição da produção de pera, houve III anos em que a produção foi inferior à soma da média com o desvio padrão.

De acordo com previsões do INE, a produção acumulada de maçã, de 2019 a 2024, seria \(136\,270\) kg/ha, enquanto a produção acumulada de pera, no mesmo período, corresponderia a \(60\%\) da produção acumulada de maçã. De acordo com os dados da tabela e com esta previsão do INE, obtém-se para o valor da produção de pera em 2024, aproximadamente, IV kg/ha.

Exame Nacional 2025, época especial — item 5

A Maria tem um plano de treinos de corrida. Em cada treino, utiliza uma aplicação que regista a distância percorrida e a energia gasta.

No diagrama de dispersão da Figura 2, apresentam-se os valores registados em alguns desses treinos, sendo \(x\) a distância percorrida, em quilómetros, e \(y\) a correspondente energia gasta, em quilocalorias.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados no diagrama de dispersão.

Nos treinos cujos registos se apresentam, a Maria percorreu, em média, cerca de I quilómetros por treino (valor arredondado às décimas). Neste conjunto de treinos, a mediana das quilocalorias gastas foi II.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\) obtido a partir dos dados representados no diagrama, verifica-se uma correlação III entre a distância percorrida e as quilocalorias gastas por treino. Com base nesse modelo e utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, estima-se que a Maria, num treino em que percorra \(6\) quilómetros, gaste, aproximadamente, IV quilocalorias (valor arredondado às unidades).

Matemática 360, 10.º ano (Raiz Editora) — itens 9.1, 9.2, 9.3, 9.4

Os dados seguintes referem-se ao peso, em quilogramas, dos bebés recém-nascidos numa maternidade, num determinado período.

a) [★] A variável estatística deste estudo é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua?

b) [★★] Justifique que a classe modal e a classe mediana são a mesma classe, e indique essa classe.

c) [★★] Determine, justificando, \({P}_{70}\) e interprete esse valor no contexto da situação.

d) [★★★] Determine uma estimativa da média dos pesos, em quilogramas, dos bebés recém-nascidos naquela maternidade, naquele período.

Espiral 10, Apoio à avaliação (novembro de 2025, Porto Editora) — itens 4.1, 4.2, 4.3

No diagrama de caule-e-folhas seguinte está representado um conjunto de dez dados, sendo um deles representado por \(a\).

Considere que a mediana é igual a \(25\).

a) [★★] Qual é, neste caso, o valor de \(a\)?

(A) \(4\)

(B) \(5\)

(C) \(6\)

(D) \(7\)

b) [★★★] Mostre que a média dos dados é dada pela expressão \(25,1+0,1a\).

Considere que se adicionou três unidades a cada um dos dez dados deste conjunto.

c) [★★] Determine o valor de \(a\), sabendo que a média do novo conjunto de dados é \(28,6\).

“Prova 3” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — item 14

Foi feita uma sondagem para estimar o valor, em euros, que cada família tem disponível para gastar nas férias.

Selecionou-se uma amostra aleatória de \(625\) famílias e obtiveram-se os dados que estão parcialmente registados na tabela seguinte.

A margem de erro, com cinco casas decimais, do intervalo de confiança de \(95\%\) para a proporção de famílias que têm disponível para as férias mais de \(2000\) euros e no máximo \(3000\) euros é \(0,03136\).

Determina o número de famílias que têm disponível para as férias, no máximo, \(1000\) euros.

“Prova 4” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — item 14

Os parafusos de um determinado tipo, produzidos por uma empresa, obedecem a regras padronizadas de fabrico e de controlo de qualidade.

Admite que o comprimento deste tipo de parafuso pode ser modelado por uma variável aleatória de valor médio \(80\) mm e desvio-padrão de \(3\) mm.

Selecionou-se, ao acaso, uma amostra com \(n\) parafusos deste tipo produzidos pela empresa e construiu-se o intervalo de confiança de \(90\%\) para o comprimento médio destes parafusos, obtendo-se uma margem de erro igual a \(0,41125\).

Determina a probabilidade de a média dos comprimentos dos parafusos da amostra ser inferior a \(79,5\).

Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.